MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbff 23612
Description: A measurable function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbff (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)

Proof of Theorem mbff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 23611 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
21simplbi 479 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 cnex 10218 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10228 . . . 4 ℝ ∈ V
53, 4elpm2 8040 . . 3 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
65simplbi 479 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72, 6syl 17 1 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144  wral 3060  wss 3721  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  ccom 5253  wf 6027  (class class class)co 6792  pm cpm 8009  cc 10135  cr 10136  (,)cioo 12379  cre 14044  cim 14045  volcvol 23450  MblFncmbf 23601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-pm 8011  df-mbf 23606
This theorem is referenced by:  mbfdm  23613  mbfmptcl  23623  mbfres  23630  mbfimaopnlem  23641  mbfadd  23647  mbfsub  23648  mbfmul  23712  iblcnlem  23774  bddmulibl  23824  bddibl  23825  bddiblnc  33805  mbfresmf  41462
  Copyright terms: Public domain W3C validator