MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem 23454
Description: Lemma for mbfeqa 23455. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4079 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)
2 incom 3838 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))
3 dfin4 3900 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
42, 3eqtri 2673 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6 symdif2 3885 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))}
7 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴))
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
129, 11sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
1413fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐵𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
1510, 12, 14syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
179, 16sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐵𝐷) = (𝑥𝐵𝐷)
1918fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐵𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
2010, 17, 19syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
218, 15, 203eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
2221ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
23 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥)
24 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧)
25 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
2624, 25nfeq 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
27 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧))
28 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2927, 28eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)))
3023, 26, 29cbvral 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3122, 30sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3231r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3332eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
347, 33sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3534anass1rs 866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3635pm5.32da 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3711, 13fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
38 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
41 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4316, 18fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
44 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
47 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4936, 42, 483bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5049ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (¬ 𝑧𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))))
5150con1d 139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧𝐴))
5251abssdv 3709 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
536, 52syl5eqss 3682 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ⊆ 𝐴)
5453unssad 3823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5654, 55sstrd 3646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
58 ovolssnul 23301 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
5954, 55, 57, 58syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
60 nulmbl 23349 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
6156, 59, 60syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
62 difmbl 23357 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
635, 61, 62syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
644, 63syl5eqel 2734 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
6553unssbd 3824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
6665, 55sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
67 ovolssnul 23301 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0)
6865, 55, 57, 67syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0)
69 nulmbl 23349 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
7066, 68, 69syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
7170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
72 unmbl 23351 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
7364, 71, 72syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
741, 73syl5eqelr 2735 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
75 inundif 4079 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)
76 incom 3838 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))
77 dfin4 3900 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
7876, 77eqtri 2673 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
79 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
80 difmbl 23357 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8179, 70, 80syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8278, 81syl5eqel 2734 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
8361adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
84 unmbl 23351 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8582, 83, 84syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8675, 85syl5eqelr 2735 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
8774, 86impbida 895 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
8887ralbidv 3015 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
89 ismbf 23442 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9037, 89syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
91 ismbf 23442 . . 3 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9243, 91syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9388, 90, 923bitr4d 300 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  cr 9973  0cc0 9974  (,)cioo 12213  vol*covol 23277  volcvol 23278  MblFncmbf 23428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433
This theorem is referenced by:  mbfeqa  23455
  Copyright terms: Public domain W3C validator