MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 23565
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14022 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbff 23564 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 fco 6207 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 698 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5 fimacnv 6498 . . 3 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7 ioomax 12412 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
8 ioof 12435 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 6194 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
11 mnfxr 10259 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
12 pnfxr 10255 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
13 fnovrn 6962 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
1410, 11, 12, 13mp3an 1561 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
157, 14eqeltrri 2824 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
16 ismbf1 23563 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
1716simprbi 483 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
18 simpl 474 . . . . 5 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
1918ralimi 3078 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
21 imaeq2 5608 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
2221eleq1d 2812 . . . 4 (𝑥 = ℝ → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2322rspcv 3433 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2415, 20, 23mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
256, 24eqeltrrd 2828 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  𝒫 cpw 4290   × cxp 5252  ccnv 5253  dom cdm 5254  ran crn 5255  cima 5257  ccom 5258   Fn wfn 6032  wf 6033  (class class class)co 6801  pm cpm 8012  cc 10097  cr 10098  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  *cxr 10236  (,)cioo 12339  cre 14007  cim 14008  volcvol 23403  MblFncmbf 23553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-2 11242  df-ioo 12343  df-cj 14009  df-re 14010  df-mbf 23558
This theorem is referenced by:  ismbf  23567  ismbfcn  23568  mbfimaicc  23570  mbfdm2  23575  mbfres  23581  mbfmulc2lem  23584  mbfimaopn2  23594  cncombf  23595  mbfaddlem  23597  mbfadd  23598  mbfsub  23599  mbfmullem2  23661  mbfmul  23663  bddmulibl  23775  bddibl  23776  itgulm  24332  bddiblnc  33762  ftc1anclem1  33767  ftc1anclem5  33771  ftc1anclem8  33774  smfmbfcex  41443
  Copyright terms: Public domain W3C validator