Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfconst 23621
 Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 752 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 fconstmpt 5303 . . . 4 (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6527 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ)
4 mblss 23519 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
54adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 cnex 10219 . . . 4 ℂ ∈ V
7 reex 10229 . . . 4 ℝ ∈ V
8 elpm2r 8027 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
96, 7, 8mpanl12 682 . . 3 (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
103, 5, 9syl2anc 573 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
112a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵))
12 ref 14060 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
1413feqmptd 6391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
15 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘𝐵))
161, 11, 14, 15fmptco 6539 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
17 fconstmpt 5303 . . . . . . . 8 (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
1816, 17syl6eqr 2823 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
1918cnveqd 5436 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}))
2019imaeq1d 5606 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦))
21 recl 14058 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
22 mbfconstlem 23615 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
2321, 22sylan2 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
2420, 23eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
25 imf 14061 . . . . . . . . . . 11 ℑ:ℂ⟶ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
2726feqmptd 6391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
28 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘𝐵))
291, 11, 27, 28fmptco 6539 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
30 fconstmpt 5303 . . . . . . . 8 (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
3129, 30syl6eqr 2823 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
3231cnveqd 5436 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) = (𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}))
3332imaeq1d 5606 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) = ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦))
34 imcl 14059 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
35 mbfconstlem 23615 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3634, 35sylan2 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐵)}) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3733, 36eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)
3824, 37jca 501 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
3938ralrimivw 3116 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol))
40 ismbf1 23612 . 2 ((𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn ↔ ((𝐴 × {𝐵}) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐴 × {𝐵})) “ 𝑦) ∈ dom vol)))
4110, 39, 40sylanbrc 572 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  {csn 4316   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ◡ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250   “ cima 5252   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑pm cpm 8010  ℂcc 10136  ℝcr 10137  (,)cioo 12380  ℜcre 14045  ℑcim 14046  volcvol 23451  MblFncmbf 23602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-xmet 19954  df-met 19955  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607 This theorem is referenced by:  mbf0  23622  mbfss  23633  mbfmulc2lem  23634  mbfpos  23638  ibl0  23773  iblconst  23804
 Copyright terms: Public domain W3C validator