HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayetes3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayetes3i 28922
Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a 𝐴C
mayetes3.b 𝐵C
mayetes3.c 𝐶C
mayetes3.d 𝐷C
mayetes3.f 𝐹C
mayetes3.g 𝐺C
mayetes3.r 𝑅C
mayetes3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayetes3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayetes3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9 𝐴C
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9 𝐶C
31, 2chjcli 28650 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ C
4 mayetes3.f . . . . . . . 8 𝐹C
53, 4chjcli 28650 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
6 mayetes3.r . . . . . . 7 𝑅C
75, 6chjcomi 28661 . . . . . 6 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) = (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
87eqimssi 3806 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵C
101, 9chjcli 28650 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
1110, 6chub1i 28662 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅)
121, 9, 6chjassi 28679 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅) = (𝐴 (𝐵 𝑅))
1311, 12sseqtri 3784 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
149, 6chjcli 28650 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ∈ C
151, 14chjcli 28650 . . . . . . . . 9 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ∈ C
1615, 6chub2i 28663 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
1713, 16sstri 3759 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷C
192, 18chjcli 28650 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐷) ∈ C
2019, 6chub1i 28662 . . . . . . . . 9 (𝐶 𝐷) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅)
212, 18, 6chjassi 28679 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅) = (𝐶 (𝐷 𝑅))
2220, 21sseqtri 3784 . . . . . . . 8 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
2318, 6chjcli 28650 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ∈ C
242, 23chjcli 28650 . . . . . . . . 9 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ∈ C
2524, 6chub2i 28663 . . . . . . . 8 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
2622, 25sstri 3759 . . . . . . 7 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
27 ss2in 3987 . . . . . . 7 (((𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) → ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))))
2817, 26, 27mp2an 664 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10 𝐺C
304, 29chjcli 28650 . . . . . . . . 9 (𝐹 𝐺) ∈ C
3130, 6chub1i 28662 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐺) ⊆ ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅)
324, 29, 6chjassi 28679 . . . . . . . 8 ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅) = (𝐹 (𝐺 𝑅))
3331, 32sseqtri 3784 . . . . . . 7 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
3429, 6chjcli 28650 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ∈ C
354, 34chjcli 28650 . . . . . . . 8 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ∈ C
3635, 6chub2i 28663 . . . . . . 7 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
3733, 36sstri 3759 . . . . . 6 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
38 ss2in 3987 . . . . . 6 ((((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∧ (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) → (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
3928, 37, 38mp2an 664 . . . . 5 (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
40 ss2in 3987 . . . . 5 (((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∧ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) → ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))))
418, 39, 40mp2an 664 . . . 4 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
4215, 24chincli 28653 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∈ C
4342, 35chincli 28653 . . . . . 6 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) ∈ C
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
4544, 5eqeltri 2845 . . . . . . . . . 10 𝑋C
4645choccli 28500 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ∈ C
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
486, 46, 47lecmii 28796 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋)
496, 45cmcm2i 28786 . . . . . . . 8 (𝑅 𝐶 𝑋𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋))
5048, 49mpbir 221 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 𝑋
5150, 44breqtri 4809 . . . . . 6 𝑅 𝐶 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
526, 9chub2i 28663 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐵 𝑅)
5314, 1chub2i 28663 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
5452, 53sstri 3759 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
556, 15, 54lecmii 28796 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐴 (𝐵 𝑅))
566, 18chub2i 28663 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐷 𝑅)
5723, 2chub2i 28663 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
5856, 57sstri 3759 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
596, 24, 58lecmii 28796 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐶 (𝐷 𝑅))
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 28819 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))
616, 29chub2i 28663 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐺 𝑅)
6234, 4chub2i 28663 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
6361, 62sstri 3759 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
646, 35, 63lecmii 28796 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 (𝐹 (𝐺 𝑅))
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 28819 . . . . . 6 𝑅 𝐶 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
666, 5, 43, 51, 65fh3i 28816 . . . . 5 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
676, 42, 35, 60, 64fh3i 28816 . . . . . . 7 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
686, 15, 24, 55, 59fh3i 28816 . . . . . . . 8 (𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) = ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
6968ineq1i 3959 . . . . . . 7 ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7067, 69eqtri 2792 . . . . . 6 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7170ineq2i 3960 . . . . 5 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7266, 71eqtr2i 2793 . . . 4 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7341, 72sseqtri 3784 . . 3 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
749, 18chjcli 28650 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ C
7574, 29chjcli 28650 . . . . 5 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∈ C
766, 75chub2i 28663 . . . 4 𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
77 mayetes3.ac . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78 mayetes3.af . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79 mayetes3.cf . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80 mayetes3.ab . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
811, 2chub1i 28662 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶)
823, 4chub1i 28662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
8382, 44sseqtr4i 3785 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐶) ⊆ 𝑋
8481, 83sstri 3759 . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
851, 45chsscon3i 28654 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
8684, 85mpbi 220 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
8747, 86sstri 3759 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
886, 1chsscon2i 28656 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
8987, 88mpbi 220 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
9080, 89ssini 3982 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
919, 6chdmj1i 28674 . . . . . 6 (⊥‘(𝐵 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
9290, 91sseqtr4i 3785 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 𝑅))
93 mayetes3.cd . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
942, 1chub2i 28663 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶)
9594, 83sstri 3759 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑋
962, 45chsscon3i 28654 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
9795, 96mpbi 220 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
9847, 97sstri 3759 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
996, 2chsscon2i 28656 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
10098, 99mpbi 220 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
10193, 100ssini 3982 . . . . . 6 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
10218, 6chdmj1i 28674 . . . . . 6 (⊥‘(𝐷 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103101, 102sseqtr4i 3785 . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 𝑅))
104 mayetes3.fg . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
1054, 3chub2i 28663 . . . . . . . . . . 11 𝐹 ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
106105, 44sseqtr4i 3785 . . . . . . . . . 10 𝐹𝑋
1074, 45chsscon3i 28654 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108106, 107mpbi 220 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
10947, 108sstri 3759 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
1106, 4chsscon2i 28656 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111109, 110mpbi 220 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112104, 111ssini 3982 . . . . . 6 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
11329, 6chdmj1i 28674 . . . . . 6 (⊥‘(𝐺 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114112, 113sseqtr4i 3785 . . . . 5 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 𝑅))
115 eqid 2770 . . . . 5 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
116 eqid 2770 . . . . 5 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) = (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
11774, 29, 6chjjdiri 28717 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅))
1189, 18, 6chjjdiri 28717 . . . . . . 7 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) = ((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅))
119118oveq1i 6802 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅)) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
120117, 119eqtri 2792 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 28921 . . . 4 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
1225, 43chincli 28653 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ∈ C
12375, 6chjcli 28650 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∈ C
1246, 122, 123chlubii 28665 . . . 4 ((𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∧ (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)) → (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅))
12576, 121, 124mp2an 664 . . 3 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12673, 125sstri 3759 . 2 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12744oveq1i 6802 . . 3 (𝑋 𝑅) = (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅)
128 mayetes3.y . . 3 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
129127, 128ineq12i 3961 . 2 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)))
130 mayetes3.z . . 3 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
131130oveq1i 6802 . 2 (𝑍 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
132126, 129, 1313sstr4i 3791 1 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  cin 3720  wss 3721   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792   C cch 28120  cort 28121   chj 28124   𝐶 ccm 28127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hvcom 28192  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hvaddid 28195  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvmulass 28198  ax-hvdistr1 28199  ax-hvdistr2 28200  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276  ax-hcompl 28393
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-lm 21253  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cfil 23271  df-cau 23272  df-cmet 23273  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790  df-dip 27890  df-ssp 27911  df-ph 28002  df-cbn 28053  df-hnorm 28159  df-hba 28160  df-hvsub 28162  df-hlim 28163  df-hcau 28164  df-sh 28398  df-ch 28412  df-oc 28443  df-ch0 28444  df-shs 28501  df-chj 28503  df-pjh 28588  df-cm 28776
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator