Theorem maxprmfct 15468

Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
maxprmfct.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
maxprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxprmfct.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}
2		ssrab2 3720	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁} ⊆ ℙ
3	1, 2	eqsstri 3668	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℙ
4		prmz 15436	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
5	4	ssriv 3640	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℤ
6	3, 5	sstri 3645	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
8		exprmfct 15463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁)
9		breq1 4688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
10	9, 1	elrab2 3399	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
11	10	exbii 1814	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
12		n0 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
13		df-rex 2947	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
14	11, 12, 13	3bitr4ri 293	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ 𝑆 ≠ ∅)
15	8, 14	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
16		eluzelz 11735	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		eluz2nn 11764	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	4	anim1i 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
19	10, 18	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
20		dvdsle 15079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
21	20	expcom 450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁)))
22	21	impd 446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	19, 22	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 𝑁))
24	23	ralrimiv 2994	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
26		breq2 4689	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑁))
27	26	ralbidv 3015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁))
28	27	rspcev 3340	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
29	16, 25, 28	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
30	7, 15, 29	3jca 1261	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
31		suprzcl2 11816	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
32	30, 31	jccir 561	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  supcsup 8387  ℝcr 9973   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433

This theorem is referenced by: (None)