MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max2 12211
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2
StepHypRef Expression
1 rexr 10277 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10277 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax2 12200 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 495 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cr 10127  *cxr 10265  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272
This theorem is referenced by:  lemaxle  12219  z2ge  12222  ssfzunsnext  12579  uzsup  12856  expmulnbnd  13190  discr1  13194  rexuzre  14291  caubnd  14297  limsupgre  14411  limsupbnd2  14413  rlim3  14428  lo1bdd2  14454  o1lo1  14467  rlimclim1  14475  lo1mul  14557  rlimno1  14583  cvgrat  14814  ruclem10  15167  bitsfzo  15359  1arith  15833  evth  22959  ioombl1lem4  23529  itg2monolem3  23718  itgle  23775  ibladdlem  23785  plyaddlem1  24168  coeaddlem  24204  o1cxp  24900  cxp2lim  24902  cxploglim2  24904  ftalem1  24998  ftalem2  24999  chtppilim  25363  dchrisumlem3  25379  ostth2lem2  25522  ostth2lem3  25523  ostth2lem4  25524  ostth3  25526  knoppndvlem18  32826  ibladdnclem  33779  ftc1anclem5  33802  irrapxlem4  37891  irrapxlem5  37892  rexabslelem  40143  uzublem  40155  max2d  40186  climsuse  40343  limsupubuzlem  40447  limsupmnfuzlem  40461  limsupequzmptlem  40463  limsupre3uzlem  40470  liminflelimsuplem  40510  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  hoidifhspdmvle  41340
  Copyright terms: Public domain W3C validator