Theorem max1 12054

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12055. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10123	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10123	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 493	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  ifcif 4119   class class class wbr 4685  ℝcr 9973  ℝ^*cxr 10111   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118

This theorem is referenced by:  z2ge  12067  ssfzunsnext  12424  uzsup  12702  expmulnbnd  13036  discr1  13040  rexuzre  14136  rexico  14137  caubnd  14142  limsupgre  14256  limsupbnd2  14258  rlim3  14273  lo1bdd2  14299  o1lo1  14312  rlimclim1  14320  lo1mul  14402  rlimno1  14428  cvgrat  14659  ruclem10  15012  bitsfzo  15204  1arith  15678  setsstruct2  15943  evth  22805  ioombl1lem1  23372  mbfi1flimlem  23534  itg2monolem3  23564  iblre  23605  itgreval  23608  iblss  23616  i1fibl  23619  itgitg1  23620  itgle  23621  itgeqa  23625  iblconst  23629  itgconst  23630  ibladdlem  23631  itgaddlem2  23635  iblabslem  23639  iblabsr  23641  iblmulc2  23642  itgmulc2lem2  23644  itgsplit  23647  plyaddlem1  24014  coeaddlem  24050  o1cxp  24746  cxp2lim  24748  cxploglim2  24750  ftalem1  24844  ftalem2  24845  chtppilim  25209  dchrisumlem3  25225  ostth2lem2  25368  ostth3  25372  knoppndvlem18  32645  ibladdnclem  33596  itgaddnclem2  33599  iblabsnclem  33603  iblmulc2nc  33605  itgmulc2nclem2  33607  ftc1anclem5  33619  irrapxlem4  37706  irrapxlem5  37707  rexabslelem  39958  uzublem  39970  max1d  39991  uzubioo  40112  climsuse  40158  limsupubuzlem  40262  limsupmnfuzlem  40276  limsupequzmptlem  40278  limsupre3uzlem  40285  liminflelimsuplem  40325  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467