Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0add Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))

StepHypRef Expression
1 0red 10247 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 recn 10232 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
54addid1d 10442 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6 iftrue 4232 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
76adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
8 le0neg2 10743 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
98biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
109adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → 0 ≤ -𝐴)
12 renegcl 10550 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
1312ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
14 0re 10246 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
15 letri3 10329 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
1613, 14, 15sylancl 574 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → (-𝐴 = 0 ↔ (-𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐴)))
1710, 11, 16mpbir2and 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 0 ≤ -𝐴) → -𝐴 = 0)
1817ifeq1da 4256 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = if(0 ≤ -𝐴, 0, 0))
19 ifid 4265 . . . . 5 if(0 ≤ -𝐴, 0, 0) = 0
2018, 19syl6eq 2821 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
217, 20oveq12d 6814 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 + 0))
22 absid 14244 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
235, 21, 223eqtr4d 2815 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
243adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524negcld 10585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
2625addid2d 10443 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 + -𝐴) = -𝐴)
27 letri3 10329 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
2814, 27mpan2 671 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
2928biimprd 238 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0))
3029impl 443 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = 0)
3130ifeq1da 4256 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = if(0 ≤ 𝐴, 0, 0))
32 ifid 4265 . . . . 5 if(0 ≤ 𝐴, 0, 0) = 0
3331, 32syl6eq 2821 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
34 le0neg1 10742 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
3534biimpa 462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
3635iftrued 4234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
3733, 36oveq12d 6814 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 + -𝐴))
38 absnid 14246 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
3926, 37, 383eqtr4d 2815 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
401, 2, 23, 39lecasei 10349 1 (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) + if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (abs‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4226   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142   + caddc 10145   ≤ cle 10281  -cneg 10473  abscabs 14182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184 This theorem is referenced by:  iblabslem  23814  iblabsnclem  33805
 Copyright terms: Public domain W3C validator