Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulval 20524
 Description: Multiplication of a vector with a square matrix. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulval.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulval.t · = (.r𝑅)
mavmulval.r (𝜑𝑅𝑉)
mavmulval.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulval.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulval.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mavmulval (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗   · ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   · (𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mavmulval
StepHypRef Expression
1 mavmulval.m . 2 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
2 mavmulval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 mavmulval.t . 2 · = (.r𝑅)
4 mavmulval.r . 2 (𝜑𝑅𝑉)
5 mavmulval.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
6 mavmulval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
7 mavmulval.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
87, 2matbas2 20400 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
95, 4, 8syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
106, 9eleqtrrd 2830 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
11 mavmulval.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
121, 2, 3, 4, 5, 5, 10, 11mvmulval 20522 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ⟨cop 4315   ↦ cmpt 4869   × cxp 5252  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↑𝑚 cmap 8011  Fincfn 8109  Basecbs 16030  .rcmulr 16115   Σg cgsu 16274   Mat cmat 20386   maVecMul cmvmul 20519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-prds 16281  df-pws 16283  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-dsmm 20249  df-frlm 20264  df-mat 20387  df-mvmul 20520 This theorem is referenced by:  mavmulfv  20525  mavmulcl  20526  1mavmul  20527  mavmul0  20531
 Copyright terms: Public domain W3C validator