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Theorem mavmulsolcl 20405
Description: Every solution of the equation 𝐴𝑋 = 𝑌 for a matrix 𝐴 and a vector 𝐵 is a vector. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mavmulsolcl.e 𝐸 = (𝐵𝑚 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mavmulsolcl (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))

Proof of Theorem mavmulsolcl
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
2 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → 𝑅𝑉)
32adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑅𝑉)
4 simpl1 1084 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑀 ∈ Fin)
5 simpl2 1085 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑁 ∈ Fin)
63, 4, 53jca 1261 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
76adantl 481 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
8 mavmuldm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 mavmuldm.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))
10 mavmuldm.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁)
11 mavmuldm.t . . . . . . 7 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
128, 9, 10, 11mavmuldm 20404 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
137, 12syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
14 simpl 472 . . . . . 6 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ 𝑋𝐷)
1514intnand 982 . . . . 5 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷))
16 ndmovg 6859 . . . . 5 ((dom · = (𝐶 × 𝐷) ∧ ¬ (𝐴𝐶𝑋𝐷)) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
1713, 15, 16syl2anc 694 . . . 4 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝐴 · 𝑋) = ∅)
18 eqeq1 2655 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
19 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑀) → 𝑌:𝑀𝐵)
20 f0dom0 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅))
2120biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑌 = ∅ → 𝑀 = ∅))
2221necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑀 ≠ ∅ → 𝑌 ≠ ∅))
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ≠ ∅ → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
24233ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → (𝑌:𝑀𝐵𝑌 ≠ ∅))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌:𝑀𝐵 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝑀𝐵 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑀) → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
28 mavmulsolcl.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝐵𝑚 𝑀)
2927, 28eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐸 → (𝑅𝑉 → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅)))
3029impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑌𝐸) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) → 𝑌 ≠ ∅))
3130impcom 445 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → 𝑌 ≠ ∅)
32 eqneqall 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑋𝐷))
3331, 32syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3433adantl 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → (𝑌 = ∅ → 𝑋𝐷))
3534com12 32 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3635eqcoms 2659 . . . . . 6 (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷))
3718, 36syl6bi 243 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌 → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → 𝑋𝐷)))
3837com23 86 . . . 4 ((𝐴 · 𝑋) = ∅ → ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
3917, 38mpcom 38 . . 3 ((¬ 𝑋𝐷 ∧ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸))) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
4039ex 449 . 2 𝑋𝐷 → (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷)))
411, 40pm2.61i 176 1 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐸)) → ((𝐴 · 𝑋) = 𝑌𝑋𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  c0 3948  cop 4216   × cxp 5141  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904   maVecMul cmvmul 20394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-mvmul 20395
This theorem is referenced by:  slesolvec  20533  cramerimplem2  20538
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