Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0 20576
 Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmul0 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmul0.t . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2771 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 simpr 471 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
6 0fin 8348 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
7 eleq1 2838 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
86, 7mpbiri 248 . . . 4 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
98adantr 466 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10 0ex 4925 . . . . 5 ∅ ∈ V
11 snidg 4346 . . . . 5 (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
1210, 11mp1i 13 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
1413adantr 466 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
1514fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16 mat0dimbas0 20490 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1716adantl 467 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1815, 17eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
1912, 18eleqtrrd 2853 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21 el1o 7737 . . . . . 6 (∅ ∈ 1𝑜 ↔ ∅ = ∅)
2220, 21sylibr 224 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1𝑜)
23 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
24 fvex 6344 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
25 map0e 8051 . . . . . . 7 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
2723, 26eqtrd 2805 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = 1𝑜)
2822, 27eleqtrrd 2853 . . . 4 (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
2928adantr 466 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
301, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29mavmulval 20569 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
31 mpteq1 4872 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
3231adantr 466 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
33 mpt0 6160 . . 3 (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
3432, 33syl6eq 2821 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
3530, 34eqtrd 2805 1 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ∅c0 4063  {csn 4317  ⟨cop 4323   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1𝑜c1o 7710   ↑𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   Σg cgsu 16309   Mat cmat 20430   maVecMul cmvmul 20564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mat 20431  df-mvmul 20565 This theorem is referenced by:  mavmul0g  20577  cramer0  20716
 Copyright terms: Public domain W3C validator