MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscacell 20459
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscacell.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscacell.v · = ( ·𝑠𝐴)
matvscacell.t × = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
matvscacell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 matvscacell.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 matvscacell.v . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐴)
5 matvscacell.t . . . . 5 × = (.r𝑅)
6 eqid 2771 . . . . 5 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 20451 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
87oveqd 6813 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
983ad2ant2 1128 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
10 df-ov 6799 . . 3 (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
1110a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
12 opelxpi 5287 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
13123ad2ant3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
141, 2matrcl 20435 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1514simpld 482 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
1615adantl 467 . . . . . 6 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
17163ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18 xpfi 8391 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1917, 17, 18syl2anc 573 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20 simp2l 1241 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋𝐾)
212eleq2i 2842 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
271, 26matbas2 20444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2817, 25, 27syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2924, 28eleqtrrd 2853 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
30 elmapfn 8036 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
32 df-ov 6799 . . . . . 6 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
3332eqcomi 2780 . . . . 5 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
3433a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
3519, 20, 31, 34ofc1 7071 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
3613, 35mpdan 667 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
379, 11, 363eqtrd 2809 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4317  cop 4323   × cxp 5248   Fn wfn 6025  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   ·𝑠 cvsca 16153  Ringcrg 18755   Mat cmat 20430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mat 20431
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  20527  scmatscmide  20531  scmatscm  20537  mat2pmatlin  20760  monmatcollpw  20804  pmatcollpwlem  20805  chpmat1dlem  20860  chpdmatlem2  20864  chpdmatlem3  20865
  Copyright terms: Public domain W3C validator