Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mattposvs 20479
 Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposvs.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposvs.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mattposvs.v · = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
mattposvs ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

Proof of Theorem mattposvs
StepHypRef Expression
1 mattposvs.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mattposvs.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 20435 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 482 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
5 sqxpexg 7110 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7 snex 5036 . . . . . 6 {𝑋} ∈ V
8 xpexg 7107 . . . . . 6 (((𝑁 × 𝑁) ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
96, 7, 8sylancl 574 . . . . 5 (𝑌𝐵 → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
10 oftpos 20476 . . . . 5 ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌))
119, 10mpancom 668 . . . 4 (𝑌𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌))
12 tposconst 7542 . . . . 5 tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
1312oveq1i 6803 . . . 4 (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌)
1411, 13syl6eq 2821 . . 3 (𝑌𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌))
1514adantl 467 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌))
16 mattposvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
17 mattposvs.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
18 eqid 2771 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
19 eqid 2771 . . . 4 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
201, 2, 16, 17, 18, 19matvsca2 20451 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑌))
2120tposeqd 7507 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑌))
221, 2mattposcl 20477 . . 3 (𝑌𝐵 → tpos 𝑌𝐵)
231, 2, 16, 17, 18, 19matvsca2 20451 . . 3 ((𝑋𝐾 ∧ tpos 𝑌𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌))
2422, 23sylan2 580 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)tpos 𝑌))
2515, 21, 243eqtr4d 2815 1 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4316   × cxp 5247  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ∘𝑓 cof 7042  tpos ctpos 7503  Fincfn 8109  Basecbs 16064  .rcmulr 16150   ·𝑠 cvsca 16153   Mat cmat 20430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mat 20431 This theorem is referenced by:  madulid  20669
 Copyright terms: Public domain W3C validator