MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsubgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsubgcell 20442
Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s 𝑆 = (-g𝐴)
matsubgcell.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsubgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 20420 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 477 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
653ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
7 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
91, 8matsubg 20440 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g𝐴))
106, 7, 9syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g𝐴))
11 matsubgcell.s . . . . . 6 𝑆 = (-g𝐴)
1210, 11syl6reqr 2813 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
1312oveqd 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15 xpfi 8396 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1615anidms 680 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1716adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
183, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1918adantr 472 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20193ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
212eleq2i 2831 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
231, 8matbas 20421 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
243, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
2522, 24eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
2625adantr 472 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27263ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
282eleq2i 2831 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2928biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
301, 2matrcl 20420 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3130, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3229, 31eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
3332adantl 473 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34333ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35 matsubgcell.m . . . . 5 = (-g𝑅)
36 eqid 2760 . . . . 5 (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
378, 14, 7, 20, 27, 34, 35, 36frlmsubgval 20310 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋𝑓 𝑌))
3813, 37eqtrd 2794 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋𝑓 𝑌))
3938oveqd 6830 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋𝑓 𝑌)𝐽))
40 df-ov 6816 . . 3 (𝐼(𝑋𝑓 𝑌)𝐽) = ((𝑋𝑓 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41 opelxpi 5305 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
4241anim2i 594 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43423adant1 1125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
451, 44, 2matbas2i 20430 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
46 elmapfn 8046 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
4847adantr 472 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
491, 44, 2matbas2i 20430 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
50 elmapfn 8046 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
5251adantl 473 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53 inidm 3965 . . . . 5 ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54 df-ov 6816 . . . . . . 7 (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
5554eqcomi 2769 . . . . . 6 (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
5655a1i 11 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57 df-ov 6816 . . . . . . 7 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
5857eqcomi 2769 . . . . . 6 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
5958a1i 11 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
6048, 52, 19, 19, 53, 56, 59ofval 7071 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋𝑓 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6143, 60syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝑓 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6240, 61syl5eq 2806 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑓 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6339, 62eqtrd 2794 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cop 4327   × cxp 5264   Fn wfn 6044  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  Basecbs 16059  -gcsg 17625  Ringcrg 18747   freeLMod cfrlm 20292   Mat cmat 20415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-mat 20416
This theorem is referenced by:  matinvgcell  20443  dmatsubcl  20506  chmatval  20836  chpmat1dlem  20842  chpdmatlem2  20846  chpdmatlem3  20847
  Copyright terms: Public domain W3C validator