Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matring 20451
 Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
matring ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2matbas2 20429 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4 eqidd 2761 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝐴) = (+g𝐴))
5 eqid 2760 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
61, 5matmulr 20446 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
71matgrp 20438 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8 simp1r 1241 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simp1l 1240 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simp2 1132 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
11 simp3 1133 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
122, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11mamucl 20409 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
13 simplr 809 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpll 807 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15 simpr1 1234 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
16 simpr2 1236 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
17 simpr3 1238 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
182, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5mamuass 20410 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
202, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17mamudir 20412 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
213adantr 472 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2216, 21eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2317, 21eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝐴) = (+g𝐴)
261, 24, 25, 19matplusg2 20435 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g𝐴)𝑧) = (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧))
2722, 23, 26syl2anc 696 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g𝐴)𝑧) = (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧))
2827oveq2d 6829 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)))
292, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16mamucl 20409 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3029, 21eleqtrd 2841 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
312, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17mamucl 20409 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3231, 21eleqtrd 2841 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
331, 24, 25, 19matplusg2 20435 . . . 4 (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3430, 32, 33syl2anc 696 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3520, 28, 343eqtr4d 2804 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
362, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17mamudi 20411 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3715, 21eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
381, 24, 25, 19matplusg2 20435 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
3937, 22, 38syl2anc 696 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
4039oveq1d 6828 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
412, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17mamucl 20409 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
4241, 21eleqtrd 2841 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
431, 24, 25, 19matplusg2 20435 . . . 4 (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
4432, 42, 43syl2anc 696 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
4536, 40, 443eqtr4d 2804 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47 eqid 2760 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
48 eqid 2760 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
49 eqid 2760 . . 3 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))
50 simpl 474 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
512, 46, 47, 48, 49, 50mamumat1cl 20447 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
52 simplr 809 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53 simpll 807 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54 simpr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
552, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54mamulid 20449 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
562, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54mamurid 20450 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
573, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56isringd 18785 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230  ⟨cotp 4329   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815   ∘𝑓 cof 7060   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  1rcur 18701  Ringcrg 18747   maMul cmmul 20391   Mat cmat 20415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-mamu 20392  df-mat 20416 This theorem is referenced by:  matassa  20452  mat1  20455  mat1bas  20457  matsc  20458  mat0dim0  20475  mat0dimid  20476  mat0dimcrng  20478  mat1dimcrng  20485  mat1ghm  20491  mat1mhm  20492  mat1rhm  20493  mat1rngiso  20494  dmatid  20503  dmatsgrp  20507  dmatsrng  20509  scmatscmide  20515  scmatscmiddistr  20516  scmatmats  20519  scmatscm  20521  scmatid  20522  scmataddcl  20524  scmatsubcl  20525  scmatmulcl  20526  scmatsgrp  20527  scmatsrng  20528  smatvscl  20532  scmatrhmcl  20536  scmatf1  20539  scmatmhm  20542  mdet1  20609  mdetunilem8  20627  mdetuni0  20629  mdetmul  20631  madulid  20653  matunit  20686  slesolinv  20688  slesolinvbi  20689  slesolex  20690  pmatring  20700  mat2pmatghm  20737  mat2pmatmul  20738  mat2pmat1  20739  mat2pmatmhm  20740  mat2pmatrhm  20741  m2cpmrhm  20753  m2pmfzgsumcl  20755  m2cpmrngiso  20765  m2cpminv0  20768  decpmataa0  20775  decpmatmul  20779  monmatcollpw  20786  pmatcollpw3fi1lem1  20793  pmatcollpw3fi1lem2  20794  pm2mpf1lem  20801  pm2mpcl  20804  pm2mpf1  20806  pm2mpcoe1  20807  idpm2idmp  20808  mp2pm2mplem5  20817  mp2pm2mp  20818  pm2mpghmlem2  20819  pm2mpghmlem1  20820  pm2mpghm  20823  pm2mpmhmlem1  20825  pm2mpmhmlem2  20826  pm2mpmhm  20827  pm2mprhm  20828  pm2mprngiso  20829  monmat2matmon  20831  pm2mp  20832  chpmat0d  20841  chpmat1dlem  20842  chpmat1d  20843  chp0mat  20853  chpidmat  20854  cpmidgsumm2pm  20876  cpmidpmatlem2  20878  cpmidpmatlem3  20879  cpmadugsumlemB  20881  cpmadugsumlemC  20882  cayhamlem2  20891  chcoeffeqlem  20892  cayhamlem4  20895  matunitlindflem2  33719  matunitlindf  33720
 Copyright terms: Public domain W3C validator