Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matplusgcell 20461
 Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusgcell.p = (+g𝐴)
matplusgcell.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matplusgcell (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matplusgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 matplusgcell.p . . . . 5 = (+g𝐴)
4 matplusgcell.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
51, 2, 3, 4matplusg2 20455 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))
65oveqd 6831 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋𝑓 + 𝑌)𝐽))
76adantr 472 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋𝑓 + 𝑌)𝐽))
8 df-ov 6817 . . 3 (𝐼(𝑋𝑓 + 𝑌)𝐽) = ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
98a1i 11 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑓 + 𝑌)𝐽) = ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
10 opelxp 5303 . . 3 (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁) ↔ (𝐼𝑁𝐽𝑁))
11 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
121, 11, 2matbas2i 20450 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
13 elmapfn 8048 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
1514adantr 472 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
161, 11, 2matbas2i 20450 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
17 elmapfn 8048 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑌𝐵𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
1918adantl 473 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
201, 2matrcl 20440 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
21 xpfi 8398 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2221anidms 680 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2322adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2420, 23syl 17 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2524adantr 472 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
26 inidm 3965 . . . 4 ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
27 df-ov 6817 . . . . . 6 (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
2827eqcomi 2769 . . . . 5 (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
2928a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
30 df-ov 6817 . . . . . 6 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
3130eqcomi 2769 . . . . 5 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
3231a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
3315, 19, 25, 25, 26, 29, 32ofval 7072 . . 3 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
3410, 33sylan2br 494 . 2 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
357, 9, 343eqtrd 2798 1 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) + (𝐼𝑌𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ⟨cop 4327   × cxp 5264   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑓 cof 7061   ↑𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123  Basecbs 16079  +gcplusg 16163   Mat cmat 20435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-mat 20436 This theorem is referenced by:  mat1ghm  20511  cpmatacl  20743  mat2pmatghm  20757  pm2mpghm  20843
 Copyright terms: Public domain W3C validator