MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matmulr 20466
Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
matmulr ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))

Proof of Theorem matmulr
StepHypRef Expression
1 ovex 6842 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2 matmulr.t . . . . 5 · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3 ovex 6842 . . . . 5 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) ∈ V
42, 3eqeltri 2835 . . . 4 · ∈ V
51, 4pm3.2i 470 . . 3 ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
6 mulrid 16219 . . . 4 .r = Slot (.r‘ndx)
76setsid 16136 . . 3 (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
85, 7mp1i 13 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
9 matmulr.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 eqid 2760 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
119, 10, 2matval 20439 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1211fveq2d 6357 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (.r𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
138, 12eqtr4d 2797 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cop 4327  cotp 4329   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  ndxcnx 16076   sSet csts 16077  .rcmulr 16164   freeLMod cfrlm 20312   maMul cmmul 20411   Mat cmat 20435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-sets 16086  df-mulr 16177  df-mat 20436
This theorem is referenced by:  matring  20471  matassa  20472  matmulcell  20473  mpt2matmul  20474  mat1  20475  mattposm  20487  mat1dimmul  20504  dmatmul  20525  mdetmul  20651  madurid  20672  slesolinv  20708  slesolinvbi  20709  cramerimplem3  20713  mat2pmatmul  20758  decpmatmullem  20798  decpmatmul  20799  matunitlindflem2  33737
  Copyright terms: Public domain W3C validator