Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matinv 20702
 Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matinv.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h 𝐻 = (invr𝑅)
matinv.i 𝐼 = (invr𝐴)
matinv.t = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
matinv ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀𝑈 ∧ (𝐼𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))))

Proof of Theorem matinv
StepHypRef Expression
1 matinv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 eqid 2771 . 2 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3 eqid 2771 . 2 (1r𝐴) = (1r𝐴)
4 matinv.u . 2 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5 matinv.i . 2 𝐼 = (invr𝐴)
6 matinv.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
76, 1matrcl 20435 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
87simpld 482 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
983ad2ant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simp1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
116matassa 20467 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
129, 10, 11syl2anc 573 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13 assaring 19535 . . 3 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15 simp2 1131 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀𝐵)
16 assalmod 19534 . . . 4 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
1712, 16syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18 crngring 18766 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19183ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simp3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ 𝑉)
21 matinv.v . . . . . 6 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22 matinv.h . . . . . 6 𝐻 = (invr𝑅)
23 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2421, 22, 23ringinvcl 18884 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
2519, 20, 24syl2anc 573 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
266matsca2 20443 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
279, 10, 26syl2anc 573 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2827fveq2d 6336 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2925, 28eleqtrd 2852 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30 matinv.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
316, 30, 1maduf 20665 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
32313ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵𝐵)
3332, 15ffvelrnd 6503 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
34 eqid 2771 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35 matinv.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
36 eqid 2771 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
371, 34, 35, 36lmodvscl 19090 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀)) ∈ 𝐵)
3817, 29, 33, 37syl3anc 1476 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀)) ∈ 𝐵)
391, 34, 36, 35, 2assaassr 19533 . . . 4 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))))
4012, 29, 15, 33, 39syl13anc 1478 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))))
41 matinv.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
426, 1, 30, 41, 3, 2, 35madurid 20668 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
4315, 10, 42syl2anc 573 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
4443oveq2d 6809 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝑀(.r𝐴)(𝐽𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
45 eqid 2771 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
46 eqid 2771 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4721, 22, 45, 46unitlinv 18885 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = (1r𝑅))
4819, 20, 47syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = (1r𝑅))
4927fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
5049oveqd 6810 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r𝑅)(𝐷𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)))
5127fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5248, 50, 513eqtr3d 2813 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5352oveq1d 6808 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)))
5423, 21unitcl 18867 . . . . . . 7 ((𝐷𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55543ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
5655, 28eleqtrd 2852 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
571, 3ringidcl 18776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
5814, 57syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
59 eqid 2771 . . . . . 6 (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
601, 34, 35, 36, 59lmodvsass 19098 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
6117, 29, 56, 58, 60syl13anc 1478 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷𝑀)) (1r𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
62 eqid 2771 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
631, 34, 35, 62lmodvs1 19101 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)) = (1r𝐴))
6417, 58, 63syl2anc 573 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) (1r𝐴)) = (1r𝐴))
6553, 61, 643eqtr3d 2813 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))) = (1r𝐴))
6640, 44, 653eqtrd 2809 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r𝐴)((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))) = (1r𝐴))
671, 34, 36, 35, 2assaass 19532 . . . 4 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽𝑀) ∈ 𝐵𝑀𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)))
6812, 29, 33, 15, 67syl13anc 1478 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)))
696, 1, 30, 41, 3, 2, 35madulid 20669 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
7015, 10, 69syl2anc 573 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴)))
7170oveq2d 6809 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐽𝑀)(.r𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) ((𝐷𝑀) (1r𝐴))))
7268, 71, 653eqtrd 2809 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))(.r𝐴)𝑀) = (1r𝐴))
731, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72invrvald 20701 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵 ∧ (𝐷𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀𝑈 ∧ (𝐼𝑀) = ((𝐻‘(𝐷𝑀)) (𝐽𝑀))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  1rcur 18709  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  Unitcui 18847  invrcinvr 18879  LModclmod 19073  AssAlgcasa 19524   Mat cmat 20430   maDet cmdat 20608   maAdju cmadu 20656 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-symg 18005  df-pmtr 18069  df-psgn 18118  df-evpm 18119  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-assa 19527  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-mdet 20609  df-madu 20658 This theorem is referenced by:  matunit  20703
 Copyright terms: Public domain W3C validator