MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgsum 20466
Description: Finite commutative sums in a matrix algebra are taken componentwise. (Contributed by AV, 26-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matgsum.z 0 = (0g𝐴)
matgsum.i (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
matgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
matgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
matgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
matgsum (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽,𝑗,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑦   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑊(𝑦,𝑖,𝑗)   0 (𝑦,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem matgsum
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matgsum.j . . . 4 (𝜑𝐽𝑊)
2 mptexg 6650 . . . 4 (𝐽𝑊 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) ∈ V)
4 matgsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 ovex 6843 . . . . 5 (𝑁 Mat 𝑅) ∈ V
64, 5eqeltri 2836 . . . 4 𝐴 ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
8 ovexd 6845 . . 3 (𝜑 → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V)
9 matgsum.i . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
10 matgsum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
124, 11matbas 20442 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
139, 10, 12syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1413eqcomd 2767 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
154, 11matplusg 20443 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
169, 10, 15syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
1716eqcomd 2767 . . 3 (𝜑 → (+g𝐴) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
183, 7, 8, 14, 17gsumpropd 17494 . 2 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))))
19 mpt2mpts 7404 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
2120mpteq2dv 4898 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)))
2221oveq2d 6831 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
23 eqid 2761 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
24 eqid 2761 . . . 4 (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
25 xpfi 8399 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
269, 9, 25syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
27 matgsum.f . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
28 matgsum.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2927, 28syl6eleq 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ (Base‘𝐴))
3019eqcomi 2770 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
329, 10jca 555 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3332adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3433, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3529, 31, 343eltr4d 2855 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
36 matgsum.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
3730mpteq2i 4894 . . . . . 6 (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
38 matgsum.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
3938eqcomi 2770 . . . . . 6 (0g𝐴) = 0
4036, 37, 393brtr4g 4839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g𝐴))
414, 11mat0 20446 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
429, 10, 41syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4340, 42breqtrrd 4833 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
4411, 23, 24, 26, 1, 10, 35, 43frlmgsum 20334 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
4522, 44eqtrd 2795 . 2 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
46 fvex 6364 . . . . . . . 8 (2nd𝑧) ∈ V
47 csbov2g 6856 . . . . . . . 8 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
4948csbeq2i 4137 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
50 fvex 6364 . . . . . . 7 (1st𝑧) ∈ V
51 csbov2g 6856 . . . . . . 7 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
53 csbmpt2 5162 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5446, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5554csbeq2i 4137 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
56 csbmpt2 5162 . . . . . . . . 9 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5750, 56ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5855, 57eqtri 2783 . . . . . . 7 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5958oveq2i 6826 . . . . . 6 (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
6049, 52, 593eqtrri 2788 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))
6160mpteq2i 4894 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
62 mpt2mpts 7404 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6361, 62eqtr4i 2786 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6463a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6518, 45, 643eqtrd 2799 1 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  csb 3675   class class class wbr 4805  cmpt 4882   × cxp 5265  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  1st c1st 7333  2nd c2nd 7334  Fincfn 8124   finSupp cfsupp 8443  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  Ringcrg 18768   freeLMod cfrlm 20313   Mat cmat 20436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mat 20437
This theorem is referenced by:  decpmatmul  20800  pmatcollpw2  20806
  Copyright terms: Public domain W3C validator