MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgrp 20459
Description: The matrix ring is a group. (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
matlmod.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
matgrp ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)

Proof of Theorem matgrp
StepHypRef Expression
1 matlmod.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matlmod 20458 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
3 lmodgrp 19086 . 2 (𝐴 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Grp)
42, 3syl 17 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  Grpcgrp 17636  Ringcrg 18761  LModclmod 19079   Mat cmat 20436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16316  df-prds 16322  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-subg 17805  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-subrg 18994  df-lmod 19081  df-lss 19149  df-sra 19393  df-rgmod 19394  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mat 20437
This theorem is referenced by:  matinvgcell  20464  matring  20472  mat1ghm  20513  dmatsubcl  20528  mat2pmatghm  20761
  Copyright terms: Public domain W3C validator