MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatghm 20754
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 mat2pmatbas0.h . 2 𝐻 = (Base‘𝐶)
3 eqid 2770 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
4 eqid 2770 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
5 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
65matgrp 20452 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7 mat2pmatbas.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 mat2pmatbas.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
97, 8pmatring 20717 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10 ringgrp 18759 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
12 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1312, 5, 1, 7, 8, 2mat2pmatf 20752 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
14 eqid 2770 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
1615adantr 466 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
177ply1ring 19832 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1817ad2antlr 698 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
19 simp1lr 1302 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eqid 2770 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simp2 1130 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
22 simp3 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
23 simp1rl 1303 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
245, 20, 1, 21, 22, 23matecld 20448 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25 eqid 2770 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
267, 25, 20, 14ply1sclcl 19870 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
2719, 24, 26syl2anc 565 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
288, 14, 2, 16, 18, 27matbas2d 20445 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻)
29 simp1rr 1304 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
305, 20, 1, 21, 22, 29matecld 20448 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
317, 25, 20, 14ply1sclcl 19870 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
3219, 30, 31syl2anc 565 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
338, 14, 2, 16, 18, 32matbas2d 20445 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34 eqid 2770 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
358, 2, 4, 34matplusg2 20449 . . . . 5 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
3628, 33, 35syl2anc 565 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
37 fvexd 6344 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V)
38 fvexd 6344 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
39 eqidd 2771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
40 eqidd 2771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
4116, 16, 37, 38, 39, 40offval22 7403 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
42 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
43423ad2ant1 1126 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
44 3simpc 1145 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
45 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑅) = (+g𝑅)
465, 1, 3, 45matplusgcell 20455 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
4743, 44, 46syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
487ply1sca 19837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5049fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑃)))
5150oveqd 6809 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
53523ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5447, 53eqtrd 2804 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5554fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))))
56 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
57183ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
587ply1lmod 19836 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
5958ad2antlr 698 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ LMod)
60593ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
6125, 56, 57, 60asclghm 19552 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6249eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
6362fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
6463eleq2d 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6564adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
66653ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6724, 66mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
6863eleq2d 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6968adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
70693ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
7130, 70mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
72 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
73 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘𝑃))
7472, 73, 34ghmlin 17872 . . . . . . . 8 (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7561, 67, 71, 74syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7655, 75eqtr2d 2805 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)))
7776mpt2eq3dva 6865 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
7841, 77eqtrd 2804 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
7936, 78eqtr2d 2805 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
80 simpl 468 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
815matring 20465 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
82 ringmnd 18763 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Mnd)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Mnd)
8483anim1i 594 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
85 3anass 1079 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
8684, 85sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
871, 3mndcl 17508 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
8886, 87syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
89 df-3an 1072 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9080, 88, 89sylanbrc 564 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9112, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20748 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
9290, 91syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
93 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
9493anim2i 595 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
95 df-3an 1072 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
9694, 95sylibr 224 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
9712, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20748 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
9896, 97syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
99 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
10099anim2i 595 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
101 df-3an 1072 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
102100, 101sylibr 224 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
10312, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20748 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
104102, 103syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
10598, 104oveq12d 6810 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
10679, 92, 1053eqtr4d 2814 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)))
1071, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 106isghmd 17876 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  𝑓 cof 7041  Fincfn 8108  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151  Mndcmnd 17501  Grpcgrp 17629   GrpHom cghm 17864  Ringcrg 18754  LModclmod 19072  algSccascl 19525  Poly1cpl1 19761   Mat cmat 20429   matToPolyMat cmat2pmat 20728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-ascl 19528  df-psr 19570  df-mpl 19572  df-opsr 19574  df-psr1 19764  df-ply1 19766  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-mamu 20406  df-mat 20430  df-mat2pmat 20731
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  20758  0mat2pmat  20760  m2cpmghm  20768  pm2mp  20849  cayhamlem4  20912
  Copyright terms: Public domain W3C validator