MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1scmat 20393
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 20369, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat ((𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 13245 . . 3 (𝑁𝑉 → ((#‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑒 ∈ V
4 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
5 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒
74, 5, 6mat1dimelbas 20325 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
83, 7mpan2 707 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
9 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
114, 5, 6mat1dimid 20328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩})
1210, 11sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩})
1312oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}))
14 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
1514, 3jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
185, 17ringidcl 18614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
204, 5, 6mat1dimscm 20329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩})
2115, 16, 19, 20syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩})
22 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
235, 22, 17ringridm 18618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑐)
2423opeq2d 4440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
2524sneqd 4222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
2613, 21, 253eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
289, 27eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
2928ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
3029reximdva 3046 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
318, 30sylbid 230 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
3231imp 444 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33 snfi 8079 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ Fin
34 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37 eqid 2651 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38 eqid 2651 . . . . . . . . 9 ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
395, 4, 35, 36, 37, 38scmatel 20359 . . . . . . . 8 (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
4033, 34, 39sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
412, 32, 40mpbir2and 977 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
4241ex 449 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4544fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4643, 45eqtri 2673 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅))
4847fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
4946, 48syl5eq 2697 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
5049eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝑁 = {𝑒} → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
51 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
5251eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
5350, 52imbi12d 333 . . . . 5 (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
5442, 53syl5ibr 236 . . . 4 (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
5554exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
561, 55syl6bi 243 . 2 (𝑁𝑉 → ((#‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
57563imp 1275 1 ((𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  {csn 4210  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975  #chash 13157  Basecbs 15904  .rcmulr 15989   ·𝑠 cvsca 15992  1rcur 18547  Ringcrg 18593   Mat cmat 20261   ScMat cscmat 20343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238  df-mat 20262  df-scmat 20345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator