MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1mhm 20463
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
mat1mhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mat1mhm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mat1mhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mat1mhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1mhm.m . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18724 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 snfi 8191 . . . . 5 {𝐸} ∈ Fin
5 simpl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mat1rhmval.a . . . . . 6 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
76matring 20422 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
84, 5, 7sylancr 698 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
9 mat1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
109ringmgp 18724 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑁 ∈ Mnd)
123, 11jca 555 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
13 mat1rhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
14 mat1rhmval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
15 mat1rhmval.o . . . 4 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
16 mat1rhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
1713, 6, 14, 15, 16mat1f 20461 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
18 ringmnd 18727 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
1918adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
2019adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Mnd)
21 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
2221adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
23 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2748 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25 snidg 4339 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
2625ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸 ∈ {𝐸})
27 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
2813, 6, 24, 15, 16mat1rhmcl 20460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
2923, 22, 27, 28syl3anc 1463 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
306, 13, 24, 26, 26, 29matecld 20405 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) ∈ 𝐾)
31 simprr 813 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
3213, 6, 24, 15, 16mat1rhmcl 20460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
3323, 22, 31, 32syl3anc 1463 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
346, 13, 24, 26, 26, 33matecld 20405 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) ∈ 𝐾)
35 eqid 2748 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3613, 35ringcl 18732 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) ∈ 𝐾) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
3723, 30, 34, 36syl3anc 1463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
38 oveq2 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐸 → (𝐸(𝐹𝑤)𝑒) = (𝐸(𝐹𝑤)𝐸))
39 oveq1 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐸 → (𝑒(𝐹𝑦)𝐸) = (𝐸(𝐹𝑦)𝐸))
4038, 39oveq12d 6819 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4140adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐸) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4213, 20, 22, 37, 41gsumsnd 18523 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4313, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 20459 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
4423, 22, 27, 43syl3anc 1463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
4513, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 20459 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
4623, 22, 31, 45syl3anc 1463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
4744, 46oveq12d 6819 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
4842, 47eqtrd 2782 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
4913, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 20460 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
5023, 22, 27, 49syl3anc 1463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
5113, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 20460 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
5223, 22, 31, 51syl3anc 1463 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
5350, 52jca 555 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
5425, 25jca 555 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
5554ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
56 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (.r𝐴) = (.r𝐴)
576, 14, 35, 56matmulcell 20424 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))))
5823, 53, 55, 57syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))))
5913, 35ringcl 18732 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6023, 27, 31, 59syl3anc 1463 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6113, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 20459 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
6223, 22, 60, 61syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
6348, 58, 623eqtr4rd 2793 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
64 oveq1 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗))
65 oveq1 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
6664, 65eqeq12d 2763 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
67 oveq2 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸))
68 oveq2 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
6967, 68eqeq12d 2763 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7066, 692ralsng 4352 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7121, 70sylancom 704 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7271adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7363, 72mpbird 247 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
7413, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 20460 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
7523, 22, 60, 74syl3anc 1463 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
768adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
7714, 56ringcl 18732 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
7876, 50, 52, 77syl3anc 1463 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
796, 14eqmat 20403 . . . . . 6 (((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
8075, 78, 79syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
8173, 80mpbird 247 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)))
8281ralrimivva 3097 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)))
83 eqid 2748 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8413, 83ringidcl 18739 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
8584adantr 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
8613, 6, 14, 15, 16mat1rhmval 20458 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
8785, 86mpd3an3 1562 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹‘(1r𝑅)) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
886, 13, 15mat1dimid 20453 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝐴) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
8987, 88eqtr4d 2785 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴))
9017, 82, 893jca 1403 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹:𝐾𝐵 ∧ ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴)))
911, 13mgpbas 18666 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
929, 14mgpbas 18666 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
931, 35mgpplusg 18664 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
949, 56mgpplusg 18664 . . 3 (.r𝐴) = (+g𝑁)
951, 83ringidval 18674 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
96 eqid 2748 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
979, 96ringidval 18674 . . 3 (1r𝐴) = (0g𝑁)
9891, 92, 93, 94, 95, 97ismhm 17509 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾𝐵 ∧ ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴))))
9912, 90, 98sylanbrc 701 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  {csn 4309  cop 4315  cmpt 4869  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  Basecbs 16030  .rcmulr 16115   Σg cgsu 16274  Mndcmnd 17466   MndHom cmhm 17505  mulGrpcmgp 18660  1rcur 18672  Ringcrg 18718   Mat cmat 20386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-prds 16281  df-pws 16283  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-subrg 18951  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-dsmm 20249  df-frlm 20264  df-mamu 20363  df-mat 20387
This theorem is referenced by:  mat1rhm  20464
  Copyright terms: Public domain W3C validator