Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1f1o 20332
 Description: There is a 1-1 function from a ring onto the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
Assertion
Ref Expression
mat1f1o ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mat1f1o
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 fvex 6239 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2726 . . . 4 𝐾 ∈ V
4 mat1rhmval.o . . . . 5 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
5 opex 4962 . . . . 5 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
64, 5eqeltri 2726 . . . 4 𝑂 ∈ V
73, 6pm3.2i 470 . . 3 (𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V)
8 vex 3234 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
96, 8xpsn 6447 . . . . . 6 ({𝑂} × {𝑥}) = {⟨𝑂, 𝑥⟩}
109eqcomi 2660 . . . . 5 {⟨𝑂, 𝑥⟩} = ({𝑂} × {𝑥})
1110mpteq2i 4774 . . . 4 (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}) = (𝑥𝐾 ↦ ({𝑂} × {𝑥}))
1211mapsnf1o 7991 . . 3 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V) → (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾𝑚 {𝑂}))
137, 12mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾𝑚 {𝑂}))
14 mat1rhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
1514a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}))
16 eqidd 2652 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐾 = 𝐾)
17 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
18 xpsng 6446 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
1917, 18sylancom 702 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
204sneqi 4221 . . . . . . 7 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
2119, 20syl6reqr 2704 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → {𝑂} = ({𝐸} × {𝐸}))
2221oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾𝑚 {𝑂}) = (𝐾𝑚 ({𝐸} × {𝐸})))
23 snfi 8079 . . . . . 6 {𝐸} ∈ Fin
24 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
25 mat1rhmval.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
2625, 1matbas2 20275 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐾𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
2723, 24, 26sylancr 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
2822, 27eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐾𝑚 {𝑂}) = (Base‘𝐴))
29 mat1rhmval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3028, 29syl6reqr 2704 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐵 = (𝐾𝑚 {𝑂}))
3115, 16, 30f1oeq123d 6171 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹:𝐾1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩}):𝐾1-1-onto→(𝐾𝑚 {𝑂})))
3213, 31mpbird 247 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾1-1-onto𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210  ⟨cop 4216   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904  Ringcrg 18593   Mat cmat 20261 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262 This theorem is referenced by:  mat1f  20336  mat1rngiso  20340
 Copyright terms: Public domain W3C validator