MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimmul 20330
Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimmul (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8079 . . . . 5 {𝐸} ∈ Fin
2 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1dim.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
53, 4matmulr 20292 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r𝐴))
65eqcomd 2657 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
71, 2, 6sylancr 696 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
87adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
98oveqd 6707 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10 mat1dim.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2651 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
122adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
131a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14 opex 4962 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1815, 17fsnd 6217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19 mat1dim.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2019opeq1i 4436 . . . . . . . . 9 𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋
2120sneqi 4221 . . . . . . . 8 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23 xpsng 6446 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2423anidms 678 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2522, 24feq12d 6071 . . . . . 6 (𝐸𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
2625ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
2718, 26mpbird 247 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
28 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
2910, 28eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3029a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
31 snex 4938 . . . . . . 7 {𝐸} ∈ V
3231, 31xpex 7004 . . . . . 6 ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
3332a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
3430, 33elmapd 7913 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
3527, 34mpbird 247 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})))
36 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
3815, 37fsnd 6217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
3919opeq1i 4436 . . . . . . . . 9 𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌
4039sneqi 4221 . . . . . . . 8 {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
4241, 24feq12d 6071 . . . . . 6 (𝐸𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
4342ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
4438, 43mpbird 247 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
4530, 33elmapd 7913 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
4644, 45mpbird 247 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})))
474, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 35, 46mamuval 20240 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
48 simpr 476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
4948adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐸𝑉)
50 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51 ringcmn 18627 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5251ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
53 df-ov 6693 . . . . . . . . . 10 (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5421fveq1i 6230 . . . . . . . . . 10 ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5553, 54eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
5756anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
5857ancomd 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
59 fvsng 6488 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6160adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6255, 61syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
6362, 17eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
64 df-ov 6693 . . . . . . . . . 10 (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6540fveq1i 6230 . . . . . . . . . 10 ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6664, 65eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
68 fvsng 6488 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
6967, 68sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
7069adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
7166, 70syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
7271, 37eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
7310, 11ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
7412, 63, 72, 73syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
75 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
76 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
7775, 76oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
7810eqcomi 2660 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = 𝐵
7978a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
8077, 79eleq12d 2724 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8180ralsng 4250 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8281ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8374, 82mpbird 247 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
8450, 52, 13, 83gsummptcl 18412 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
85 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
86 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
8786oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
8887mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
8988oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
90 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
9190oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
9291mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
9392oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
9485, 89, 93mpt2sn 7313 . . . 4 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
9549, 49, 84, 94syl3anc 1366 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
9619eqcomi 2660 . . . . . 6 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
9796a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
98 ringmnd 18602 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9998ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
10010, 77gsumsn 18400 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
10199, 49, 74, 100syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
10297, 101opeq12d 4441 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
103102sneqd 4222 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
10462, 71oveq12d 6708 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r𝑅)𝑌))
105104opeq2d 4440 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩)
106105sneqd 4222 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
10795, 103, 1063eqtrd 2689 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
1089, 47, 1073eqtrd 2689 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218  cmpt 4762   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904  .rcmulr 15989   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593   maMul cmmul 20237   Mat cmat 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-mamu 20238  df-mat 20262
This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  20331
  Copyright terms: Public domain W3C validator