Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0scmat 20567
 Description: The empty matrix over a ring is a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 20544, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mat0scmat (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅))

Proof of Theorem mat0scmat
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4943 . . . 4 ∅ ∈ V
21snid 4354 . . 3 ∅ ∈ {∅}
3 mat0dimbas0 20495 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
42, 3syl5eleqr 2847 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
5 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2761 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 18789 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
8 oveq1 6822 . . . . . 6 (𝑐 = (1r𝑅) → (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ((1r𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
98eqeq2d 2771 . . . . 5 (𝑐 = (1r𝑅) → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) ↔ ∅ = ((1r𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
109adantl 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 = (1r𝑅)) → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) ↔ ∅ = ((1r𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
11 eqid 2761 . . . . . . 7 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
1211mat0dimscm 20498 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ∅)
137, 12mpdan 705 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ∅)
1413eqcomd 2767 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ = ((1r𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
157, 10, 14rspcedvd 3457 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
1611mat0dimid 20497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
1716oveq2d 6831 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
1817eqeq2d 2771 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) ↔ ∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
1918rexbidv 3191 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
2015, 19mpbird 247 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))
21 0fin 8356 . . 3 ∅ ∈ Fin
22 eqid 2761 . . . 4 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
23 eqid 2761 . . . 4 (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
24 eqid 2761 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))
25 eqid 2761 . . . 4 (∅ ScMat 𝑅) = (∅ ScMat 𝑅)
265, 11, 22, 23, 24, 25scmatel 20534 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅) ↔ (∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))))
2721, 26mpan 708 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅) ↔ (∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))))
284, 20, 27mpbir2and 995 1 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∃wrex 3052  ∅c0 4059  {csn 4322  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  Basecbs 16080   ·𝑠 cvsca 16168  1rcur 18722  Ringcrg 18768   Mat cmat 20436   ScMat cscmat 20518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mamu 20413  df-mat 20437  df-scmat 20520 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator