Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimscm 20492
 Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimscm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 0fin 8343 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
43matlmod 20451 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
52, 1, 4sylancr 567 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
63matsca2 20442 . . . . . . 7 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
72, 6mpan 662 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
87fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
98eleq2d 2835 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
109biimpa 462 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11 0ex 4921 . . . . . 6 ∅ ∈ V
1211snid 4345 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
133fveq2i 6335 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14 mat0dimbas0 20489 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1513, 14syl5eq 2816 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
1612, 15syl5eleqr 2856 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
1716adantr 466 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19 eqid 2770 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20 eqid 2770 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
21 eqid 2770 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
2218, 19, 20, 21lmodvscl 19089 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
235, 10, 17, 22syl3anc 1475 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
2415eleq2d 2835 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅}))
25 elsni 4331 . . 3 ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
2624, 25syl6bi 243 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅))
271, 23, 26sylc 65 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∅c0 4061  {csn 4314  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  Basecbs 16063  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  Ringcrg 18754  LModclmod 19072   Mat cmat 20429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-mat 20430 This theorem is referenced by:  mat0scmat  20561  chpmat0d  20858
 Copyright terms: Public domain W3C validator