MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimcrng 20498
Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimcrng (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0fin 8355 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 mat0dim.a . . . 4 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
32matring 20471 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3mpan 708 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5 mat0dimbas0 20494 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
62eqcomi 2769 . . . . . 6 (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
76fveq2i 6356 . . . . 5 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
87eqeq1i 2765 . . . 4 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9 eqidd 2761 . . . . . . 7 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
10 0ex 4942 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
11 oveq1 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)𝑦))
12 oveq2 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)∅))
1311, 12eqeq12d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1413ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1510, 14ralsn 4366 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅))
16 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (∅(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)∅))
17 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
1816, 17eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ((∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅)))
1910, 18ralsn 4366 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
2015, 19bitri 264 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
219, 20sylibr 224 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
22 raleq 3277 . . . . . . . 8 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2322raleqbi1dv 3285 . . . . . . 7 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2423adantr 472 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2521, 24mpbird 247 . . . . 5 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
2625ex 449 . . . 4 ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
278, 26sylbi 207 . . 3 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
285, 27mpcom 38 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
29 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30 eqid 2760 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3129, 30iscrng2 18783 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
324, 28, 31sylanbrc 701 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  c0 4058  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768   Mat cmat 20435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-mamu 20412  df-mat 20436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator