MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha1 8456
Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pigeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
marypha1.c (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
marypha1.d ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑓   𝐴,𝑑,𝑓   𝐶,𝑑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑑)

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4276 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝐴)
2 marypha1.d . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
31, 2sylan2 492 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
43ralrimiva 3068 . . 3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
5 marypha1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
6 marypha1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 marypha1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 xpexg 7077 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
96, 7, 8syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
10 elpw2g 4932 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵)))
125, 11mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
13 xpeq2 5238 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 × 𝑏) = (𝐴 × 𝐵))
1413pweqd 4271 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 (𝐴 × 𝑏) = 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
1514raleqdv 3247 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1615imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))))
17 marypha1lem 8455 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1817com12 32 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1916, 18vtoclga 3376 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
207, 6, 19sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))
21 imaeq1 5571 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑑) = (𝐶𝑑))
2221breq2d 4772 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ 𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
2322ralbidv 3088 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
24 pweq 4269 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
2524rexeqdv 3248 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V ↔ ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
2623, 25imbi12d 333 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)))
2726rspcva 3411 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
2812, 20, 27syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
294, 28mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)
30 elpwi 4276 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓𝐶)
3130, 5sylan9ssr 3723 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
32 rnss 5461 . . . . . 6 (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
34 rnxpss 5676 . . . . 5 ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
3533, 34syl6ss 3721 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓𝐵)
36 f1ssr 6220 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1→V ∧ ran 𝑓𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3736expcom 450 . . . 4 (ran 𝑓𝐵 → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3835, 37syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3938reximdva 3119 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵))
4029, 39mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  Vcvv 3304  wss 3680  𝒫 cpw 4266   class class class wbr 4760   × cxp 5216  ran crn 5219  cima 5221  1-1wf1 5998  cdom 8070  Fincfn 8072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076
This theorem is referenced by:  marypha2  8461
  Copyright terms: Public domain W3C validator