Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapssbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapssbi 39922
Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mapssbi.a (𝜑𝐴𝑉)
mapssbi.b (𝜑𝐵𝑊)
mapssbi.c (𝜑𝐶𝑍)
mapssbi.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
mapssbi (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem mapssbi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapssbi.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
21adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
3 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 mapss 8068 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
52, 3, 4syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
65ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
7 simplr 809 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
8 nssrex 39777 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
98biimpi 206 . . . . . . 7 𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
109adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
11 fconst6g 6255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → (𝐶 × {𝑥}):𝐶𝐴)
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 × {𝑥}):𝐶𝐴)
13 mapssbi.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑉)
14 mapssbi.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝑍)
15 elmapg 8038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐶𝑍) → ((𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝐶 × {𝑥}):𝐶𝐴))
1613, 14, 15syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝐶 × {𝑥}):𝐶𝐴))
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝐶 × {𝑥}):𝐶𝐴))
1812, 17mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
19183adant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2014adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐶𝑍)
211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐵𝑊)
22 mapssbi.n . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐶 ≠ ∅)
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
2520, 21, 23, 24snelmap 39771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑥𝐵)
2625adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐵) ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑥𝐵)
27 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐵) ∧ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑥𝐵)
2826, 27pm2.65da 601 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
29283adant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
30 nelss 3805 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ∧ ¬ (𝐶 × {𝑥}) ∈ (𝐵𝑚 𝐶)) → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
3119, 29, 30syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
32313exp 1113 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵 → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))))
3332adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥𝐵 → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))))
3433rexlimdv 3168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵 → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
3510, 34mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
3635adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
377, 36condan 870 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐴𝐵)
3837ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴𝐵))
396, 38impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   × cxp 5264  wf 6045  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator