Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapsnop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapsnop 42448
Description: A singleton of an ordered pair as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapsnop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
mapsnop ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋}))

Proof of Theorem mapsnop
StepHypRef Expression
1 mapsnop.f . . . 4 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}
2 fsng 6444 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑅) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
323adant3 1101 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹:{𝑋}⟶{𝑌} ↔ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
41, 3mpbiri 248 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶{𝑌})
5 snssi 4371 . . . 4 (𝑌𝑅 → {𝑌} ⊆ 𝑅)
653ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → {𝑌} ⊆ 𝑅)
74, 6fssd 6095 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹:{𝑋}⟶𝑅)
8 simp3 1083 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
9 snex 4938 . . 3 {𝑋} ∈ V
10 elmapg 7912 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
118, 9, 10sylancl 695 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝑅))
127, 11mpbird 247 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑅𝑅𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  {csn 4210  cop 4216  wf 5922  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901
This theorem is referenced by:  lincvalsng  42530  lcosn0  42534
  Copyright terms: Public domain W3C validator