Theorem mapfzcons1 37597

Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Proof of Theorem mapfzcons1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
2		ffn 6083	. . . 4 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → 𝐴 Fn (1...𝑁))
3		fnresdm 6038	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn (1...𝑁) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐴 ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)
5	4	uneq1d 3799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))))
6		resundir 5446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = ((𝐴 ↾ (1...𝑁)) ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
7		dmres 5454	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩})
8		dmsnopss 5643	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {𝑀}
9		mapfzcons.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
10	9	sneqi 4221	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
11	8, 10	sseqtri 3670	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)}
12		sslin 3872	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨𝑀, 𝐶⟩} ⊆ {(𝑁 + 1)} → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14		fzp1disj 12437	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
15		sseq0 4008	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ⊆ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅)
16	13, 14, 15	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∩ dom {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = ∅
17	7, 16	eqtri 2673	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
18		relres 5461	. . . . . 6 ⊢ Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))
19		reldm0 5375	. . . . . 6 ⊢ (Rel ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) → (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅ ↔ dom ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅)
21	17, 20	mpbir 221	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)) = ∅
22	21	uneq2i 3797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁))) = (𝐴 ∪ ∅)
23		un0 4000	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
24	22, 23	eqtr2i 2674	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ∪ ({⟨𝑀, 𝐶⟩} ↾ (1...𝑁)))
25	5, 6, 24	3eqtr4g 2710	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ↾ (1...𝑁)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ⟨cop 4216  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  Rel wrel 5148   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690   ↑_𝑚 cmap 7899  1c1 9975   + caddc 9977  ...cfz 12364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  37675