Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons 37596
 Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 1082 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)))
2 elmapex 7920 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
32simpld 474 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 ovex 6718 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
6 elmapg 7912 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
74, 5, 6sylancl 695 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
81, 7mpbid 222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑁 + 1) ∈ V
10 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
11 f1osng 6215 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
129, 10, 11sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13 f1of 6175 . . . . . . 7 ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15 snssi 4371 . . . . . . 7 (𝐶𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16153ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
1714, 16fssd 6095 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18 fzp1disj 12437 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20 fun 6104 . . . . 5 (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
218, 17, 19, 20syl21anc 1365 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
22 1z 11445 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
23 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 nn0uz 11760 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
25 1m1e0 11127 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2625fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
2724, 26eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 − 1))
2823, 27syl6eleq 2740 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
29 fzsuc2 12436 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3022, 28, 29sylancr 696 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3130eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32 unidm 3789 . . . . . 6 (𝐵𝐵) = 𝐵
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐵𝐵) = 𝐵)
3431, 33feq23d 6078 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3521, 34mpbid 222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36 ovex 6718 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37 elmapg 7912 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
384, 36, 37sylancl 695 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3935, 38mpbird 247 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
40 mapfzcons.1 . . . . 5 𝑀 = (𝑁 + 1)
4140opeq1i 4436 . . . 4 𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶
4241sneqi 4221 . . 3 {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
4342uneq2i 3797 . 2 (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
4440oveq2i 6701 . . 3 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
4544oveq2i 6701 . 2 (𝐵𝑚 (1...𝑀)) = (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1)))
4639, 43, 453eltr4g 2747 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ⟨cop 4216  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   − cmin 10304  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  37675
 Copyright terms: Public domain W3C validator