MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem3 8472
Description: Lemma 3 for mapfien 8473. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem3
StepHypRef Expression
1 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
2 f1ocnv 6291 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
3 f1of 6279 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
54adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
6 elrabi 3510 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
7 mapfien.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
86, 7eleq2s 2868 . . . . . . 7 (𝑔𝑇𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
98adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
10 elmapi 8035 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
12 fco 6199 . . . . 5 ((𝐺:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
135, 11, 12syl2anc 573 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
14 mapfien.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
15 f1ocnv 6291 . . . . . 6 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
16 f1of 6279 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
1817adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
19 fco 6199 . . . 4 (((𝐺𝑔):𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐶) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
2013, 18, 19syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
21 mapfien.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
22 mapfien.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
2321, 22elmapd 8027 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2423adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2520, 24mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
26 mapfien.s . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
27 mapfien.w . . 3 𝑊 = (𝐺𝑍)
28 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
29 mapfien.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
30 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
3126, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30mapfienlem2 8471 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
32 breq1 4790 . . 3 (𝑥 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3332, 26elrab2 3518 . 2 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3425, 31, 33sylanbrc 572 1 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   class class class wbr 4787  ccnv 5249  ccom 5254  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013   finSupp cfsupp 8435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-1o 7717  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-fin 8117  df-fsupp 8436
This theorem is referenced by:  mapfien  8473
  Copyright terms: Public domain W3C validator