MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem2 8427
Description: Lemma 2 for mapfien 8429. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem2
StepHypRef Expression
1 mapfien.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
21adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑍𝐵)
3 mapfien.w . . . . 5 𝑊 = (𝐺𝑍)
4 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
5 f1of 6250 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
76, 1ffvelrnd 6475 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ 𝐷)
83, 7syl5eqel 2807 . . . 4 (𝜑𝑊𝐷)
98adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑊𝐷)
10 elrabi 3464 . . . . . 6 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
11 elmapi 7996 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔:𝐶𝐷)
13 mapfien.t . . . . 5 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
1412, 13eleq2s 2821 . . . 4 (𝑔𝑇𝑔:𝐶𝐷)
1514adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
16 f1ocnv 6262 . . . . 5 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
17 f1of 6250 . . . . 5 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
184, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
1918adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
20 ssid 3730 . . . 4 𝐷𝐷
2120a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐷𝐷)
22 mapfien.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
2322adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐶 ∈ V)
24 mapfien.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
2524adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐷 ∈ V)
26 breq1 4763 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑔 → (𝑥 finSupp 𝑊𝑔 finSupp 𝑊))
2726elrab 3469 . . . . . 6 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} ↔ (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
2827simprbi 483 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 finSupp 𝑊)
2928, 13eleq2s 2821 . . . 4 (𝑔𝑇𝑔 finSupp 𝑊)
3029adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 finSupp 𝑊)
314, 1jca 555 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵))
323eqcomi 2733 . . . . . . 7 (𝐺𝑍) = 𝑊
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑍) = 𝑊)
3431, 33jca 555 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) ∧ (𝐺𝑍) = 𝑊))
3534adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) ∧ (𝐺𝑍) = 𝑊))
36 f1ocnvfv 6649 . . . . 5 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) → ((𝐺𝑍) = 𝑊 → (𝐺𝑊) = 𝑍))
3736imp 444 . . . 4 (((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) ∧ (𝐺𝑍) = 𝑊) → (𝐺𝑊) = 𝑍)
3835, 37syl 17 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑊) = 𝑍)
392, 9, 15, 19, 21, 23, 25, 30, 38fsuppcor 8425 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔) finSupp 𝑍)
40 mapfien.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
41 f1ocnv 6262 . . . 4 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
42 f1of1 6249 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴1-1𝐶)
4340, 41, 423syl 18 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐶)
4443adantr 472 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴1-1𝐶)
45 mapfien.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
466, 45jca 555 . . . 4 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐷𝐵 ∈ V))
47 fex 6605 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝐷𝐵 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
48 cnvexg 7229 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
4946, 47, 483syl 18 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
50 coexg 7234 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑔𝑇) → (𝐺𝑔) ∈ V)
5149, 50sylan 489 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔) ∈ V)
5239, 44, 2, 51fsuppco 8423 1 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  {crab 3018  Vcvv 3304  wss 3680   class class class wbr 4760  ccnv 5217  ccom 5222  wf 5997  1-1wf1 5998  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974   finSupp cfsupp 8391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-1o 7680  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-fin 8076  df-fsupp 8392
This theorem is referenced by:  mapfienlem3  8428
  Copyright terms: Public domain W3C validator