MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem1 8477
Description: Lemma 1 for mapfien 8480. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfienlem1
StepHypRef Expression
1 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
2 fvex 6363 . . . 4 (𝐺𝑍) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . 3 𝑊 ∈ V
43a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑊 ∈ V)
5 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
65adantr 472 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑍𝐵)
7 elrabi 3499 . . . . 5 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
8 elmapi 8047 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓:𝐴𝐵)
10 mapfien.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
119, 10eleq2s 2857 . . 3 (𝑓𝑆𝑓:𝐴𝐵)
12 mapfien.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
13 f1of 6299 . . . 4 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
15 fco 6219 . . 3 ((𝑓:𝐴𝐵𝐹:𝐶𝐴) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
1611, 14, 15syl2anr 496 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
17 mapfien.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
18 f1of 6299 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
2019adantr 472 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
21 ssid 3765 . . 3 𝐵𝐵
2221a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵𝐵)
23 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
2423adantr 472 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐶 ∈ V)
25 mapfien.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
2625adantr 472 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵 ∈ V)
27 breq1 4807 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
2827, 10elrab2 3507 . . . . 5 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
2928simprbi 483 . . . 4 (𝑓𝑆𝑓 finSupp 𝑍)
3029adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 finSupp 𝑍)
31 f1of1 6298 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶1-1𝐴)
3212, 31syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1𝐴)
3332adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶1-1𝐴)
34 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓𝑆)
3530, 33, 6, 34fsuppco 8474 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹) finSupp 𝑍)
361eqcomi 2769 . . 3 (𝐺𝑍) = 𝑊
3736a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺𝑍) = 𝑊)
384, 6, 16, 20, 22, 24, 26, 35, 37fsuppcor 8476 1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  ccom 5270  wf 6045  1-1wf1 6046  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025   finSupp cfsupp 8442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-1o 7730  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-fin 8127  df-fsupp 8443
This theorem is referenced by:  mapfien  8480
  Copyright terms: Public domain W3C validator