Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien2 8470
 Description: Equinumerousity relation for sets of finitely supported functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien2.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
mapfien2.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien2.ac (𝜑𝐴𝐶)
mapfien2.bd (𝜑𝐵𝐷)
mapfien2.z (𝜑0𝐵)
mapfien2.w (𝜑𝑊𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapfien2 (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥, 0   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem mapfien2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfien2.z . . 3 (𝜑0𝐵)
2 mapfien2.w . . 3 (𝜑𝑊𝐷)
3 mapfien2.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
4 enfixsn 8225 . . 3 (( 0𝐵𝑊𝐷𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
6 mapfien2.ac . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 bren 8118 . . . . 5 (𝐴𝐶 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
86, 7sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
9 mapfien2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
10 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )}
11 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑦0 ) = (𝑦0 )
12 f1ocnv 6290 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
13123ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
14 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
1563ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴𝐶)
16 relen 8114 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≈
1716brrelexi 5298 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
1933ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵𝐷)
2016brrelexi 5298 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
2216brrelex2i 5299 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
2416brrelex2i 5299 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
2519, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
2613ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 0𝐵)
279, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 23, 25, 26mapfien 8469 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
28 ovex 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑚 𝐴) ∈ V
299, 28rabex2 4948 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ V
3029f1oen 8130 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
32313adant3r 1195 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
33 breq2 4790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦0 ) = 𝑊 → (𝑥 finSupp (𝑦0 ) ↔ 𝑥 finSupp 𝑊))
3433rabbidv 3339 . . . . . . . . . 10 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊})
35 mapfien2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
3634, 35syl6eqr 2823 . . . . . . . . 9 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3736adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
38373ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3932, 38breqtrd 4812 . . . . . 6 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆𝑇)
40393exp 1112 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
4140exlimdv 2013 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
428, 41mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
4342exlimdv 2013 . 2 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
445, 43mpd 15 1 (𝜑𝑆𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ◡ccnv 5248   ∘ ccom 5253  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑𝑚 cmap 8009   ≈ cen 8106   finSupp cfsupp 8431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113  df-fsupp 8432 This theorem is referenced by:  frlmpwfi  38194
 Copyright terms: Public domain W3C validator