Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdvalc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdvalc 36737
 Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.k (𝜑 → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
mapdval.t (𝜑𝑇𝑆)
mapdvalc.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
Assertion
Ref Expression
mapdvalc (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝐹   𝑓,𝑊   𝑓,𝑔,𝐹   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdvalc
StepHypRef Expression
1 mapdval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdval.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 mapdval.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 mapdval.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdval.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval.k . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
9 mapdval.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mapdval 36736 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)})
11 anass 680 . . . 4 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
12 mapdvalc.c . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
1312lcfl1lem 36599 . . . . . . 7 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
1413anbi1i 730 . . . . . 6 ((𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ ((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
1514bicomi 214 . . . . 5 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
1711, 16syl5bbr 274 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
1817rabbidva2 3181 . 2 (𝜑 → {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)} = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
1910, 18eqtrd 2654 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {crab 2913   ⊆ wss 3567  ‘cfv 5876  LSubSpclss 18913  LFnlclfn 34163  LKerclk 34191  LHypclh 35089  DVecHcdvh 36186  ocHcoch 36455  mapdcmpd 36732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-mapd 36733 This theorem is referenced by:  mapdval2N  36738  mapdordlem2  36745  mapdrval  36755
 Copyright terms: Public domain W3C validator