Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval4N 36440
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 36311 has awkward - add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdval4.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdval4N (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval4.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval4.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval4.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 eqid 2621 . . 3 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5 mapdval4.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdval4.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 mapdval4.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval4.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdval4.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 mapdval4.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
11 eqid 2621 . . 3 {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapdval2N 36438 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
1311lcfl1lem 36299 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
1413anbi1i 730 . . . . 5 ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15 anass 680 . . . . 5 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
1614, 15bitri 264 . . . 4 ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17 r19.42v 3086 . . . . . 6 (∃𝑣𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
1918fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
21 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2510adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐹) → 𝑇𝑆)
2621, 3lssel 18878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑆𝑣𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2725, 26sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2827snssd 4316 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
301, 2, 7, 21, 4, 24, 29dochocsp 36187 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
3119, 20, 303eqtr3rd 2664 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))
3227adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))
3433eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35 sneq 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
3635fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
3736eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑣 → ((𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}) ↔ (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣})))
3837rspcev 3299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
3932, 34, 38syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
4023adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 simpllr 798 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → 𝑓𝐹)
421, 7, 2, 21, 5, 6, 40, 41lcfl8a 36311 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
4339, 42mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
441, 2, 7, 21, 4, 23, 27dochocsn 36189 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
45 fveq2 6158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4644, 45sylan9req 2676 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4746eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
4843, 47jca 554 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
4931, 48impbida 876 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5049rexbidva 3044 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐹) → (∃𝑣𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5117, 50syl5bbr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5251pm5.32da 672 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))))
5316, 52syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))))
5453rabbidva2 3178 . 2 (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
5512, 54eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  {crab 2912  wss 3560  {csn 4155  cfv 5857  Basecbs 15800  LSubSpclss 18872  LSpanclspn 18911  LFnlclfn 33863  LKerclk 33891  HLchlt 34156  LHypclh 34789  DVecHcdvh 35886  ocHcoch 36155  mapdcmpd 36432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-undef 7359  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043  df-lsatoms 33782  df-lshyp 33783  df-lfl 33864  df-lkr 33892  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tgrp 35550  df-tendo 35562  df-edring 35564  df-dveca 35810  df-disoa 35837  df-dvech 35887  df-dib 35947  df-dic 35981  df-dih 36037  df-doch 36156  df-djh 36203  df-mapd 36433
This theorem is referenced by:  mapdval5N  36441  mapd1dim2lem1N  36452
  Copyright terms: Public domain W3C validator