Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem3 37466
 Description: Lemma for mapdpg 37497. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope \$d 𝑔𝑤𝑧𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡   𝜑,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
2 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32oveq1d 6828 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
41, 3eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7lcdlmod 37383 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐹)
10 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Base‘𝐶)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝐶)
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 19205 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
168, 9, 15syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 37391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
2120rexeqdv 3284 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2216, 21bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ↔ ∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺)))
2322anbi1d 743 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
24 r19.41v 3227 . . . . . . 7 (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (∃𝑔𝐵 𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2523, 24syl6rbbr 279 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
2625exbidv 1999 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧))))
27 df-rex 3056 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺}) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
2826, 27syl6bbr 278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
29 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
30 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
31 eqid 2760 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3231lsssssubg 19160 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
338, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
3412, 31, 14lspsncl 19179 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
358, 9, 34syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3633, 35sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (SubGrp‘𝐶))
37 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
38 eqid 2760 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
395, 17, 7dvhlmod 36901 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
4341, 38, 42lspsncl 19179 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4439, 40, 43syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 37447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
4633, 45sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝐶))
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 18266 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽‘{𝐺})∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
4828, 47bitr4d 271 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐽‘{𝐺}) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
494, 48mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
50 ovex 6841 . . . . 5 (𝑔 · 𝐺) ∈ V
51 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑤𝑅𝑧) = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5251eqeq2d 2770 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5352rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) → (∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧)))
5450, 53ceqsexv 3382 . . . 4 (∃𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
5554rexbii 3179 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
56 rexcom4 3365 . . 3 (∃𝑔𝐵𝑤(𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5755, 56bitr3i 266 . 2 (∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ↔ ∃𝑤𝑔𝐵 (𝑤 = (𝑔 · 𝐺) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = (𝑤𝑅𝑧)))
5849, 57sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐵𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17789  LSSumclsm 18249  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134  LSpanclspn 19173  HLchlt 35140  LHypclh 35773  DVecHcdvh 36869  LCDualclcd 37377  mapdcmpd 37415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-riotaBAD 34742 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-undef 7568  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lsatoms 34766  df-lshyp 34767  df-lcv 34809  df-lfl 34848  df-lkr 34876  df-ldual 34914  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tgrp 36533  df-tendo 36545  df-edring 36547  df-dveca 36793  df-disoa 36820  df-dvech 36870  df-dib 36930  df-dic 36964  df-dih 37020  df-doch 37139  df-djh 37186  df-lcdual 37378  df-mapd 37416 This theorem is referenced by:  mapdpglem24  37495
 Copyright terms: Public domain W3C validator