Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem27 37459
Description: Lemma for mapdpg 37466. Baer p. 45 line 16: "v(x'-y'') = x'-y'" (with equality swapped). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem27 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑂   𝑣, ·   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑣,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,,𝑖)   𝐹(𝑣,,𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝐻(𝑣,,𝑖)   𝐽(𝑣,,𝑖)   𝐾(𝑣,,𝑖)   𝑀(𝑣,,𝑖)   (𝑣,,𝑖)   𝑁(𝑣,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,,𝑖)   𝑊(𝑣,,𝑖)   𝑋(𝑣,,𝑖)   𝑌(𝑣,,𝑖)   0 (𝑣,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem27
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . . 4 = (-g𝑈)
6 mapdpg.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 mapdpg.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
11 mapdpg.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 mapdpg.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 mapdpg.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
16 mapdpg.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 mapdpg.e . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18 mapdpgem25.h1 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
19 mapdpgem25.i1 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19mapdpglem25 37457 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2120simprd 482 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))
22 eqid 2748 . . . 4 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23 eqid 2748 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24 eqid 2748 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25 mapdpglem26.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
261, 8, 12lcdlvec 37351 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
271, 8, 12lcdlmod 37352 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
2818simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝐹)
299, 10lmodvsubcl 19081 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝐹) → (𝐺𝑅) ∈ 𝐹)
3027, 15, 28, 29syl3anc 1463 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅) ∈ 𝐹)
3119simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝑖𝐹)
329, 10lmodvsubcl 19081 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑖𝐹) → (𝐺𝑅𝑖) ∈ 𝐹)
3327, 15, 31, 32syl3anc 1463 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅𝑖) ∈ 𝐹)
349, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 30, 33lspsneq 19295 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}) ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖))))
35 mapdpglem26.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
36 mapdpglem26.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
371, 3, 35, 36, 8, 22, 23, 12lcdsbase 37360 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
38 mapdpglem26.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g𝐴)
391, 3, 35, 38, 8, 22, 24, 12lcd0 37368 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
4039sneqd 4321 . . . . 5 (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
4137, 40difeq12d 3860 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
4241rexeqdv 3272 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖))))
4334, 42bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖))))
4421, 43mpbid 222 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039  cdif 3700  {csn 4309  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118  0gc0g 16273  -gcsg 17596  LModclmod 19036  LSpanclspn 19144  HLchlt 35109  LHypclh 35742  DVecHcdvh 36838  LCDualclcd 37346  mapdcmpd 37384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-riotaBAD 34711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-undef 7556  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-0g 16275  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-cntz 17921  df-oppg 17947  df-lsm 18222  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-drng 18922  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lvec 19276  df-lsatoms 34735  df-lshyp 34736  df-lcv 34778  df-lfl 34817  df-lkr 34845  df-ldual 34883  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-llines 35256  df-lplanes 35257  df-lvols 35258  df-lines 35259  df-psubsp 35261  df-pmap 35262  df-padd 35554  df-lhyp 35746  df-laut 35747  df-ldil 35862  df-ltrn 35863  df-trl 35918  df-tgrp 36502  df-tendo 36514  df-edring 36516  df-dveca 36762  df-disoa 36789  df-dvech 36839  df-dib 36899  df-dic 36933  df-dih 36989  df-doch 37108  df-djh 37155  df-lcdual 37347
This theorem is referenced by:  mapdpglem32  37465
  Copyright terms: Public domain W3C validator