Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem14 37495
 Description: Lemma for mapdpg 37516. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem14 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 36920 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2771 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
9 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
107, 8, 9lmodvnpcan 19127 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
114, 5, 6, 10syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
12 eqid 2771 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
147, 12, 13lspsncl 19190 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
154, 6, 14syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16 lmodgrp 19080 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
18 eqid 2771 . . . . . 6 (invg𝑈) = (invg𝑈)
197, 9, 18grpinvsub 17705 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
2017, 6, 5, 19syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
21 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22 mapdpglem.c . . . . . . 7 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdpglem1.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐶)
24 mapdpglem2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25 mapdpglem3.f . . . . . . 7 𝐹 = (Base‘𝐶)
26 mapdpglem3.te . . . . . . 7 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28 mapdpglem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
29 mapdpglem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐶)
30 mapdpglem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (-g𝐶)
31 mapdpglem3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
32 mapdpglem3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33 mapdpglem4.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝑈)
34 mapdpglem.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdpglem4.jt . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36 mapdpglem4.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
37 mapdpglem4.g4 . . . . . . 7 (𝜑𝑔𝐵)
38 mapdpglem4.z4 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39 mapdpglem4.t4 . . . . . . 7 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40 mapdpglem4.xn . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑄)
41 mapdpglem12.yn . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑄)
42 mapdpglem12.g0 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
431, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42mapdpglem13 37494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
447, 9lmodvsubcl 19118 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
454, 6, 5, 44syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
467, 13lspsnid 19206 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
474, 45, 46syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
4843, 47sseldd 3753 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4912, 18lssvnegcl 19169 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
504, 15, 48, 49syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5120, 50eqeltrrd 2851 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
527, 13lspsnid 19206 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
534, 6, 52syl2anc 573 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
548, 12lssvacl 19167 . . 3 (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
554, 15, 51, 53, 54syl22anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5611, 55eqeltrrd 2851 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {csn 4316  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435 This theorem is referenced by:  mapdpglem15  37496
 Copyright terms: Public domain W3C validator