Theorem mapdord 37448

Description: Ordering property of the map defined by df-mapd 37435. Property (b) of [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdord.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdord.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdord.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdord.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdord.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdord.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdord	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem mapdord

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdord.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdord.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdord.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdord.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdord.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdord.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7		mapdord.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
8		eqid 2761	. 2 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2761	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
10		eqid 2761	. 2 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
11		eqid 2761	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12		eqid 2761	. 2 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
13		eqid 2761	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) ∈ (LSHyp‘𝑈)} = {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) ∈ (LSHyp‘𝑈)}
14		eqid 2761	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)} = {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	mapdordlem2 37447	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  {crab 3055   ⊆ wss 3716  ‘cfv 6050  LSubSpclss 19155  LSAtomsclsa 34783  LSHypclsh 34784  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  ocHcoch 37157  mapdcmpd 37434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-riotaBAD 34761

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-undef 7570  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-0g 16325  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-lsm 18272  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lvec 19326  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-mapd 37435

This theorem is referenced by:  mapd11  37449  mapdsord  37465  mapdcnvordN  37468  mapdin  37472  mapdlsm  37474  mapdindp  37481  mapdpglem1  37482  mapdpglem8  37489  mapdpglem13  37494  hgmaprnlem2N  37710