MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom2 8286
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
21oveq1d 6807 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) = (∅ ↑𝑚 𝐴))
3 simplr 744 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
54, 1jctird 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
63, 5mtod 189 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
76neqned 2949 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8 map0b 8048 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)
102, 9eqtrd 2804 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) = ∅)
11 ovex 6822 . . . . . . 7 (𝐶𝑚 𝐵) ∈ V
12110dom 8245 . . . . . 6 ∅ ≼ (𝐶𝑚 𝐵)
1310, 12syl6eqbr 4823 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
14 simpll 742 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
15 reldom 8114 . . . . . . . . . . 11 Rel ≼
1615brrelex2i 5299 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
1716ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18 domeng 8122 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2014, 19mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
21 enrefg 8140 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
2221ad2antlr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶𝐶)
23 simprrl 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐴𝑥)
24 mapen 8279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐶𝐴𝑥) → (𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥))
2522, 23, 24syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥))
26 ovexd 6824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ∈ V)
27 ovexd 6824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ∈ V)
28 simprl 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
3016ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31 difexg 4939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐵𝑥) ∈ V)
33 map0g 8049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅)))
34 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
3533, 34syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
3635necon3d 2963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3729, 32, 36syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3828, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅)
39 xpdom3 8213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑚 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4026, 27, 38, 39syl3anc 1475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
41 vex 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
43 disjdif 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅)
45 mapunen 8284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4642, 32, 29, 44, 45syl31anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4746ensymd 8159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))))
48 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥𝐵)
49 undif 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5048, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5150oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) = (𝐶𝑚 𝐵))
5247, 51breqtrd 4810 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 𝐵))
53 domentr 8167 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ∧ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 𝐵)) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5440, 52, 53syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
55 endomtr 8166 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥) ∧ (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5625, 54, 55syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5756expr 444 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
5857exlimdv 2012 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
5920, 58mpd 15 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6059adantlr 686 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6113, 60pm2.61dane 3029 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6261an32s 623 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6362ex 397 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
64 reldmmap 8017 . . . 4 Rel dom ↑𝑚
6564ovprc1 6828 . . 3 𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) = ∅)
6665, 12syl6eqbr 4823 . 2 𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6763, 66pm2.61d1 172 1 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  Vcvv 3349  cdif 3718  cun 3719  cin 3720  wss 3721  c0 4061   class class class wbr 4784   × cxp 5247  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  cen 8105  cdom 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110
This theorem is referenced by:  mapdom3  8287  cfpwsdom  9607  hauspwdom  21524
  Copyright terms: Public domain W3C validator