MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom1 8166
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8003 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5193 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 8011 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 256 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 480 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 8029 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → 𝐶𝐶)
10 mapen 8165 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 494 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
12 ovex 6718 . . . . 5 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
132ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14 simprr 811 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
15 mapss 7942 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
1613, 14, 15syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
17 ssdomg 8043 . . . . 5 ((𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
19 endomtr 8055 . . . 4 (((𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶) ∧ (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2011, 18, 19syl2anc 694 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
216, 20exlimddv 1903 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
22 elmapex 7920 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2322simprd 478 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
2423con3i 150 . . . . 5 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2524eq0rdv 4012 . . . 4 𝐶 ∈ V → (𝐴𝑚 𝐶) = ∅)
2625adantl 481 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) = ∅)
27120dom 8131 . . 3 ∅ ≼ (𝐵𝑚 𝐶)
2826, 27syl6eqbr 4724 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2921, 28pm2.61dan 849 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cen 7994  cdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  mappwen  8973  pwcfsdom  9443  cfpwsdom  9444  rpnnen  15000  rexpen  15001  hauspwdom  21352
  Copyright terms: Public domain W3C validator