Theorem mapdncol 37479

Description: Transfer non-colinearity from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdindp.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdindp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdindp.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdindp.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdindp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdindp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdindp.mx	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdindp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdindp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdindp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
mapdindp.my	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdncol.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdncol	⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐹}) ≠ (𝐽‘{𝐺}))

Proof of Theorem mapdncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdncol.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		mapdindp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdindp.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdindp.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdindp.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	2, 3, 6	dvhlmod 36919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		mapdindp.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		mapdindp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdindp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11	9, 4, 10	lspsncl 19199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	7, 8, 11	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		mapdindp.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	9, 4, 10	lspsncl 19199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	7, 13, 14	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	2, 3, 4, 5, 6, 12, 15	mapd11 37448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
17	16	necon3bid 2976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
18	1, 17	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
19		mapdindp.mx	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
20		mapdindp.my	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
21	18, 19, 20	3netr3d 3008	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐹}) ≠ (𝐽‘{𝐺}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {csn 4321  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  LCDualclcd 37395  mapdcmpd 37433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204  df-mapd 37434

This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  37540  mapdh6lem1N  37542  mapdh6lem2N  37543  hdmap1l6lem1  37617  hdmap1l6lem2  37618