Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdn0 37479
 Description: Transfer nonzero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdindp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdindp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdindp.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdindp.mx (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdn0.o 0 = (0g𝑈)
mapdn0.z 𝑍 = (0g𝐶)
mapdn0.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdn0 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
2 mapdn0.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3 eldifsni 4467 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑋0 )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6 sneq 4332 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 𝑍 → {𝐹} = {𝑍})
76fveq2d 6358 . . . . . . . 8 (𝐹 = 𝑍 → (𝐽‘{𝐹}) = (𝐽‘{𝑍}))
85, 7sylan9eq 2815 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑍}))
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑈)
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (0g𝐶)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 37475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = {𝑍})
179, 13, 15lcdlmod 37402 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1914, 18lspsn0 19231 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽‘{𝑍}) = {𝑍})
2116, 20eqtr4d 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
2221adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘{ 0 }) = (𝐽‘{𝑍}))
238, 22eqtr4d 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 = 𝑍) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }))
2423ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 })))
25 eqid 2761 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
269, 11, 15dvhlmod 36920 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
272eldifad 3728 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3028, 25, 29lspsncl 19200 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3126, 27, 30syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3212, 25lsssn0 19171 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
3326, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 37449 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
3528, 12, 29lspsneq0 19235 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3626, 27, 35syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
3734, 36bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
3824, 37sylibd 229 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = 𝑍𝑋 = 0 ))
3938necon3d 2954 . . 3 (𝜑 → (𝑋0𝐹𝑍))
404, 39mpd 15 . 2 (𝜑𝐹𝑍)
41 eldifsn 4463 . 2 (𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹𝐷𝐹𝑍))
421, 40, 41sylanbrc 701 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷 ∖ {𝑍}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3713  {csn 4322  ‘cfv 6050  Basecbs 16080  0gc0g 16323  LModclmod 19086  LSubSpclss 19155  LSpanclspn 19194  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-riotaBAD 34761 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-undef 7570  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-0g 16325  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-oppg 17997  df-lsm 18272  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lvec 19326  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435 This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  37541  mapdh6lem1N  37543  mapdh6lem2N  37544  hdmap1l6lem1  37618  hdmap1l6lem2  37619
 Copyright terms: Public domain W3C validator