Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp4 37532
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 mapdindp1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 mapdindp1.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 mapdindp1.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lveclmod 19328 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
10 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3727 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
12 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
131, 12lmodvacl 19099 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
147, 9, 11, 13syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdindp1.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3727 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdindp1.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 19354 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
2019simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2120necomd 2987 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 19358 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
231, 12lmodcom 19131 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
247, 9, 11, 23syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
2524sneqd 4333 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑤 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑤)})
2625fveq2d 6357 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
2722, 26neeqtrrd 3006 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
2817, 27eqnetrrd 3000 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
29 mapdindp1.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 19355 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
3130simprd 482 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
32 eqid 2760 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
335eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 19311 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
351, 12lmodcom 19131 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑤𝑉) → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
367, 11, 9, 35syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
3736preq2d 4419 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌, (𝑌 + 𝑤)} = {𝑌, (𝑤 + 𝑌)})
3837fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}))
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 19317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 19311 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
4138, 39, 403eqtr3rd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4217oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
43 prcom 4411 . . . . . . . 8 {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
4443fveq2i 6356 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4641, 42, 453eqtr3d 2802 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4734, 46eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4831, 47neleqtrrd 2861 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 19355 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 482 1 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  {csn 4321  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  LSSumclsm 18269  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193  LVecclvec 19324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  37549  hdmap1l6e  37624
  Copyright terms: Public domain W3C validator