Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp3 37532
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp3
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19319 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
6 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
10 mapdindp1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
118, 9, 10lspvadd 19309 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
123, 5, 7, 11syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
13 mapdindp1.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
14 mapdindp1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdindp1.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
16 mapdindp1.f . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
178, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16lspindp1 19347 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
1817simprd 483 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
1912, 18ssneldd 3755 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
2014eldifad 3735 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
218, 10lspsnid 19206 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
223, 20, 21syl2anc 573 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23 eleq2 2839 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
2422, 23syl5ibcom 235 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
2524necon3bd 2957 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
2619, 25mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  wss 3723  {csn 4316  {cpr 4318  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  37550  hdmap1l6e  37624
  Copyright terms: Public domain W3C validator